Задана функция плотности вероятности непрерывной случайной величины X

Задание относится к теме "Теория вероятностей и математическая статистика".

Необходимо найти математическое ожидание \(M(X)\), дисперсию \(D(X)\) и стандартное отклонение \(\sigma(X)\) непрерывной случайной величины \(X\), полагаясь на заданную функцию плотности вероятности \( f(x) \). Функция плотности вероятности выглядит следующим образом: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если} \, x \leq 2, \\ 0.5, & \text{если} \, 2 < x \leq 4, \\ 0, & \text{если} \, x > 4. \end{cases} \]

1. Математическое ожидание \(M(X)\)

Математическое ожидание случайной величины \(X\) вычисляется по формуле: \[ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx \] Подставим нашу функцию плотности вероятности \( f(x) \):

\[ M(X) = \int_{2}^{4} x \cd = 0.5 \, dx \] Выполним интегрирование: \[ M(X) = 0.5 \int_{2}^{4} x \, dx \] Пределы интегрирования от 2 до 4: \[ \int x dx = \frac{x^2}{2} \] Тогда: \[ M(X) = 0.5 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{2}^{4} = 0.5 \left(\frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2}\right) = 0.5 \left(8 - 2\right) = 0.5 \cdot 6 = 3 \] То есть, математическое ожидание \(M(X) = 3\).

2. Дисперсия \(D(X)\)

Дисперсия случайной величины \(X\) вычисляется по формуле: \[ D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx - \left[M(X)\right]^2 \] Подставим нашу функцию плотности вероятности \( f(x) \):

\[ D(X) = \int_{2}^{4} x^2 \cdot 0.5 \, dx - \left[M(X)\right]^2 \] Выполним интегрирование: \[ D(X) = 0.5 \int_{2}^{4} x^2 \, dx - 3^2 \] Пределы интегрирования от 2 до 4: \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] Тогда: \[ 0.5 \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{4} = 0.5 \left(\frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3}\right) = 0.5 \left(\frac{64}{3} - \frac{8}{3}\right) = 0.5 \left(\frac{56}{3}\right) = \frac{28}{3} \] \[ D(X) = \frac{28}{3} - 9 = \frac{28}{3} - \frac{27}{3} = \frac{1}{3} \] То есть, дисперсия \(D(X) = \frac{1}{3}\).

3. Стандартное отклонение \(\sigma(X)\)

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \] Подставим найденное значение дисперсии: \[ \sigma(X) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Итак, результаты вычислений:

• Математическое ожидание \( M(X) = 3 \)
• Дисперсия \( D(X) = \frac{1}{3} \)
• Стандартное отклонение \( \sigma(X) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)