Задача по теме правило трех сигм

Определение предмета и подраздела

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел: Неравенства и законы больших чисел.

Решение

Неравенство Чебышева гласит, что для любой случайной величины \( X \) с математическим ожиданием \( \mu = \mathbb{E}(X) \) и дисперсией \( \sigma^2 = \text{Var}(X) \), и для любого \( k > 0 \) верно: \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \]

Наша задача — оценить вероятность того, что случайная величина \( X \) отклонится от своего математического ожидания менее чем на три среднеквадратических отклонения (\( \sigma \)).

Шаг 1. Формулировка задачи с использованием кванторов вероятностей

Мы ищем вероятность, что абсолютное отклонение \( X \) от \( \mu \) будет меньше \( 3\sigma \): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| < 3\sigma). \]

Шаг 2. Использование дополнения события

Из теории вероятностей знаем: \[ \mathbb{P}(|X - \mu| < 3\sigma ) = 1 - \mathbb{P}(|X - \mu| \geq 3\sigma). \]

Шаг 3. Применение неравенства Чебышева

Применим неравенство Чебышева для события \( |X - \mu| \geq 3\sigma \): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \geq 3\sigma) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}. \]

Шаг 4. Оценка вероятности интересующего события

Используем предыдущие результаты: \[ \mathbb{P}(|X - \mu| < 3\sigma) \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. \] Таким образом, вероятность того, что случайная величина \( X \) отклонится от своего математического ожидания менее чем на три среднеквадратических отклонения, составляет не менее \( \frac{8}{9} \), или примерно \( 0.888 \) (88.8%).

Заключение

Используя неравенство Чебышева, мы оценили вероятность того, что случайная величина \( X \) отклонится от своего математического ожидания менее чем на три среднеквадратических отклонения, и получили оценку \( \frac{8}{9} \) или 88.8%.