Выяснить вероятность того, что оба ребенка - мальчики, если известно, что в семье есть мальчик

Данное задание относится к предмету «Теория вероятностей и статистика», раздел «Условная вероятность».

Решение

Для решения задачи используем известные концепции из теории вероятностей, такие как условная вероятность и классическое определение вероятности.

Пусть:

• \( A \) = событие, что оба ребенка - мальчики.
• \( B \) = событие, что в семье есть хотя бы один мальчик.

Нам нужно найти условную вероятность того, что оба ребенка - мальчики, при условии, что в семье есть хотя бы один мальчик. Это обозначается как \( P(A|B) \).

Используем формулу условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Обозначим все возможные исходы (каждый ребенок может быть либо мальчиком (М), либо девочкой (Д)). Таким образом, у нас есть 4 возможных сочетания:

1. \( MM \) (оба мальчики)
2. \( MD \) (старший мальчик, младшая девочка)
3. \( DM \) (старшая девочка, младший мальчик)
4. \( DD \) (оба девочки)

Вычисления:

1. Вычисление \( P(B) \):
   • Событие \( B \) наступает, если в семье есть хотя бы один мальчик. Это происходит в трех случаях из четырех (в случаях \( MM \), \( MD \), и \( DM \)), кроме \( DD \).
   • Вероятность \( P(B) \) равна:

   \[ P(B) = \frac{3}{4} \]

2. Вычисление \( P(A \cap B) \):
   • Событие \( A \cap B \) это событие, что оба ребенка мальчики, когда хотя бы один из них мальчик. Но тут набор тоже совпадает с событием \( A \), поскольку если у нас оба мальчика, в нем уже выполняется условие, что хотя бы один мальчик.
   • Поскольку событие \( A \) включено в \( B \), то вероятность \( P(A \cap B) = P(A) \). Событие, что оба ребенка мальчики (исход \( MM \)), имеет вероятность:

   \[ P(A) = \frac{1}{4} \]

3. Теперь находим \( P(A|B) \):

   \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)} \]

   Подставляем известные значения:

   \[ P(A|B) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \]

Ответ:

Вероятность того, что оба ребенка - мальчики, при условии, что хотя бы один из них мальчик, равна \(\frac{1}{3}\) или примерно 33.33%.