Выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат и какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98%

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Теория вероятностей и математическая статистика".

Задание 6.19

Условие задачи: Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение \( X \) контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением \( \sigma \). Считая, что для данной технологии \( \sigma = 5 \) и \( X \) нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.

Решение:

1. Задание параметров нормального распределения:
   • Среднее значение (математическое ожидание) \( \mu = 0 \) (поскольку мы рассматриваем отклонение от номинала).
   • Стандартное отклонение \( \sigma = 5 \).
2. Ограничение отклонения:
   • Деталь считается годной, если \( |X| \leq 10 \).
3. Поиск значений на стандартной нормальной кривой:
   • \[ Z_1 = \frac{-10 - 0}{5} = -2 \]
   • \[ Z_2 = \frac{10 - 0}{5} = 2 \]
4. Поиск вероятностей с помощью таблицы стандартного нормального распределения:
   • Найдем вероятности, соответствующие \( Z_1 \) и \( Z_2 \).
   • \[ P(Z_1 \leq Z \leq Z_2) = P(-2 \leq Z \leq 2) \]
   • Согласно таблице, \( P(Z \leq -2) \approx 0.0228 \) и \( P(Z \leq 2) \approx 0.9772 \).
5. Расчет вероятности годной детали:
   • Вероятность для интервала: \[ P(-2 \leq Z \leq 2) = P(Z \leq 2) - P(Z \leq -2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544 \]
   • Процент годных деталей: \( 0.9544 \times 100\% = 95.44\% \)

Таким образом, процент годных деталей, производимых автоматом, составляет примерно 95.44%.

Задание 6.20 (продолжение)

Условие задачи: В условиях предыдущей задачи выяснить, какой должна быть точность изготовления (стандартное отклонение \( \sigma \)), чтобы процент годных деталей повысился до 98%.

Решение:

1. Задание новой вероятности годных деталей:
   • Теперь \( P(|X| \leq 10) = 0.98 \).
2. Определение нового критического значения Z для вероятности 98%:
   • Для симметричной вероятности \( \alpha = 0.98/2 = 0.49 \) по одну сторону от центра.
   • Найдем \( Z_{0.49} \) и \(Z_{0.51}\) (значения из стандартной таблицы нормального распределения).
   • \( Z_{0.49} \approx 2.326 \)
3. Переход к новому стандартному отклонению \( \sigma_x \) при заданном Z:
   • Используем преобразование: \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma_x} \)
   • Получаем: \[ 2.326 = \frac{10}{\sigma_x} \]
4. Решаем уравнение для \( \sigma_x \):
   • \( \sigma_x = \frac{10}{2.326} \approx 4.30 \) мм

Таким образом, для того чтобы процент годных деталей повысился до 98%, стандартное отклонение точности изготовления должно быть уменьшено до примерно 4.30 мм.