Выразить вероятность того, что блок X (одна из предложенных схем) не работает (не пропускает ток)

Это задание по теории вероятностей и математической статистике.

Задание 2 (первая задача на изображении):

События \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) обозначают, что блоки \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) пропускают ток. Нужно выразить вероятность того, что блок \( X \) (одна из предложенных схем) не работает (не пропускает ток).

1. Общая схема.

Мы знаем, что \( P(A) = p \), \( P(B) = p \), \( P(C) = p \), \( P(D) = p \), так как вероятность того, что элементы работают, одинакова для всех блоков. Все события независимы.

Теперь рассмотрим несколько схем:

Схема 1 (см. под №1):

Блоки \( A \) и \( B \) соединены последовательно. Это значит, что ток не пройдет, если хотя бы один из блоков не пропустит ток. Вероятность того, что блок \( X \) не работает (не пропускает ток), равна произведению вероятностей, что ни \( A \), ни \( B \) не работают одновременно:

\[ P( X \text{ не работает}) = P( A \text{ не работает} ) \cdot P( B \text{ не работает}) = (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^2. \]

Схема 2 (см. под №2):

Блоки \( A \) и \( B \) соединены параллельно. В параллельной цепи система выйдет из строя, если оба блока одновременно не работают:

\[ P( X \text{ не работает}) = P( A \text{ не работает} \text{ и } B \text{ не работает}) = (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^2. \]

Схема 3 (см. под №3):

Блоки \( A \), \( B \), \( C \) соединены последовательно. Для выхода из строя системы нужно, чтобы хотя бы один блок не пропустил ток:

\[ P( X \text{ не работает}) = (1 - p)^3. \]

Схема 4 (см. под №4):

Блок \( A \), \( B \), \( C \) соединены параллельно. Для того чтобы система не работала, все блоки должны выйти из строя:

\[ P( X \text{ не работает}) = (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^3. \]

Схема 5 (см. под №5):

\( X = A + B + C + D \) (последовательное соединение):

\[ P( X \text{ не работает}) = (1 - p)^4. \]

Дальнейшие шаги:

Для остальных схем решаем аналогично, применяя форму для последовательных или параллельных соединений.