Вычислите дисперсию

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины. Дисперсия линейных комбинаций случайных величин

Шаг 1: Теоретическая основа

Нам нужно найти дисперсию выражения:

D(3X - Y - 10)

Используем свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю: D(c) = 0
2. Дисперсия линейной комбинации: если X и Y — независимые случайные величины, то:

D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y)

Значит:

D(3X - Y - 10) = 9D(X) + D(Y)

(так как -Y = (-1)Y, и (-1)² = 1)

Шаг 2: Найдём дисперсии D(X) и D(Y)

1. Найдём математическое ожидание M(X):

 M(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = (-3)(0.4) + 3(0.1) + 5(0.5) = -1.2 + 0.3 + 2.5 = 1.6 

Теперь найдём D(X):

 D(X) = \sum (x_i - M(X))^2 \cdot P(x_i) 

Посчитаем:

• Для x = -3: (-3 - 1.6)^2 = (-4.6)^2 = 21.16
• Для x = 3: (3 - 1.6)^2 = (1.4)^2 = 1.96
• Для x = 5: (5 - 1.6)^2 = (3.4)^2 = 11.56

Теперь:

 D(X) = 21.16(0.4) + 1.96(0.1) + 11.56(0.5) = 8.464 + 0.196 + 5.78 = 14.44 

2. Найдём математическое ожидание M(Y):

 M(Y) = (-1)(0.2) + 2(0.7) + 8(0.1) = -0.2 + 1.4 + 0.8 = 2.0 

Теперь найдём D(Y):

• Для y = -1: (-1 - 2)^2 = 9
• Для y = 2: (2 - 2)^2 = 0
• Для y = 8: (8 - 2)^2 = 36

Теперь:

 D(Y) = 9(0.2) + 0(0.7) + 36(0.1) = 1.8 + 0 + 3.6 = 5.4 

Шаг 3: Подставим в формулу

 D(3X - Y - 10) = 9D(X) + D(Y) = 9 \cdot 14.44 + 5.4 = 129.96 + 5.4 = 135.36 

Ответ:

\boxed{135.36}