Вычислить вероятность того, что только один станок потребует наладки: хотя бы один станок потребует наладки

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическая вероятность и вероятности независимых событий

Задание (пункт 2 из условия):
Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что не потребует наладки:

• 1-й станок: 0,9
• 2-й станок: 0,6
• 3-й станок: 0,7

Найти:

1. Вероятность того, что только один станок потребует наладки
2. Вероятность того, что хотя бы один станок потребует наладки

Обозначим:

• Событие, что станок потребует наладки:
  • 1-й станок: [A_1]
  • 2-й станок: [A_2]
  • 3-й станок: [A_3]

Тогда:

• [P(A_1) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1]
• [P(A_2) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4]
• [P(A_3) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3]

1. Вероятность того, что только один станок потребует наладки:

Это означает, что один из станков потребует наладки, а два других — нет. Возможны три случая:

Случай 1: Только 1-й станок потребует наладки:

 P_1 = P(A_1) \cdot (1 - P(A_2)) \cdot (1 - P(A_3)) = 0{,}1 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}042 

Случай 2: Только 2-й станок потребует наладки:

 P_2 = (1 - P(A_1)) \cdot P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0{,}9 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}252 

Случай 3: Только 3-й станок потребует наладки:

 P_3 = (1 - P(A_1)) \cdot (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = 0{,}9 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}162 

Суммируем:  P(\text{только один требует наладки}) = P_1 + P_2 + P_3 = 0{,}042 + 0{,}252 + 0{,}162 = 0{,}456 

2. Вероятность того, что хотя бы один станок потребует наладки:

Это противоположное событие к тому, что ни один станок не потребует наладки, т.е. все работают без наладки.

 P(\text{все работают}) = 0{,}9 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}378 

Тогда:  P(\text{хотя бы один потребует наладки}) = 1 - 0{,}378 = 0{,}622 

Ответ:

1. Вероятность того, что только один станок потребует наладки:
   [P = 0{,}456]

2. Вероятность того, что хотя бы один станок потребует наладки:
   [P = 0{,}622]