Вычислить вероятность точного выхода m элементов

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Дискретные вероятностные распределения (распределение Бернулли, Пуассона, приближение Муавра-Лапласа)

Рассмотрим 11 вариант, который включает три подзадачи (11a, 11b, 11c).

Дано:

• Число элементов устройства: n
• Число вышедших из строя элементов: m
• Надежность элемента (вероятность его работы): p
• Вероятность выхода из строя элемента: q = 1 - p

Решение для 11a (формула Бернулли)

Формула Бернулли:
P(X = m) = C_n^m p^{n-m} q^m

Где:
C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} — биномиальный коэффициент.

Подставляем данные:

• n = 1000
• m = 4
• p = 0.997
• q = 1 - 0.997 = 0.003

Вычисляем:
P(X = 4) = C_{1000}^{4} (0.997)^{996} (0.003)^4

Решение для 11b (распределение Пуассона)

При большом n и малом q биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона:
P(X = m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}

Где:
\lambda = n q — математическое ожидание.

Подставляем данные:

• n = 8
• p = 0.6
• q = 1 - 0.6 = 0.4
• m = 3
• \lambda = 8 \cdot 0.4 = 3.2

Вычисляем:
P(X = 3) = \frac{3.2^3 e^{-3.2}}{3!}

Решение для 11c (приближение Муавра-Лапласа)

Для больших n биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным:
P(a \leq X \leq b) \approx \Phi\left(\frac{b - np}{\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\frac{a - np}{\sqrt{npq}}\right)

Где \Phi(z) — функция Лапласа.

Подставляем данные:

• n = 80
• p = 0.8
• q = 1 - 0.8 = 0.2
• P(X > 2)

Находим параметры:

• np = 80 \cdot 0.8 = 64
• npq = 80 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 12.8
• \sigma = \sqrt{12.8} \approx 3.58

Используем нормализацию:
Z = \frac{2 - 64}{3.58} = -17.3

Так как \Phi(-17.3) \approx 0, вероятность выхода более двух элементов практически равна 1.

Вывод:

1. 11a: Используем формулу Бернулли, вычисляем вероятность точного выхода m элементов.
2. 11b: Используем распределение Пуассона, так как n мало, а q велико.
3. 11c: Используем приближение Муавра-Лапласа, так как n велико.

Если требуется конкретный численный ответ, то необходимо провести вычисления с помощью калькулятора или программного инструмента (например, Python).