Вычислить математическое ожидание и дисперсию двумя способами

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к предмету Теория вероятностей и математическая статистика, раздел Характеристики случайных величин (математическое ожидание и дисперсия). В нем требуется вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины двумя способами.

1. Дано:

Случайная величина \( Y_i \) и соответствующие ей вероятности \( P_i \):

\[ Y_i = 48,\ 44,\ 40,\ 36,\ 32 \]

\[ P_i = 0.2,\ 0.1,\ 0.2,\ 0.3,\ 0.2 \]

Шаг 1. Вычисление математического ожидания \( M(Y) \).

По формуле для математического ожидания:

\[ M(Y) = \sum_{i=1}^{n} Y_i \cdot P_i \]

Подставляем \( Y_i \) и \( P_i \) из задачи:

\[ M(Y) = (48 \cdot 0.2) + (44 \cdot 0.1) + (40 \cdot 0.2) + (36 \cdot 0.3) + (32 \cdot 0.2) \]

Выполним умножения:

\[ M(Y) = 9.6 + 4.4 + 8 + 10.8 + 6.4 \]

Сложим все значения:

\[ M(Y) = 39.2 \]

Ответ: \( M(Y) = 39.2 \).

Шаг 2. Вычисление дисперсии \( D(Y) \).

Формула для дисперсии:

\[ D(Y) = \sum_{i=1}^{n} P_i \cdot (Y_i - M(Y))^2 \]

2.1. Находим отклонения \( (Y_i - M(Y)) \) и их квадраты \( (Y_i - M(Y))^2 \):

\( M(Y) = 39.2 \)

Вычислим \( Y_i - M(Y) \) для каждого \( Y_i \):

\[ 48 - 39.2 = 8.8, \quad (8.8)^2 = 77.44 \]

\[ 44 - 39.2 = 4.8, \quad (4.8)^2 = 23.04 \]

\[ 40 - 39.2 = 0.8, \quad (0.8)^2 = 0.64 \]

\[ 36 - 39.2 = -3.2, \quad (-3.2)^2 = 10.24 \]

\[ 32 - 39.2 = -7.2, \quad (-7.2)^2 = 51.84 \]

2.2. Умножаем \( P_i \) на \( (Y_i - M(Y))^2 \) и складываем:

\[ D(Y) = (0.2 \cdot 77.44) + (0.1 \cdot 23.04) + (0.2 \cdot 0.64) + (0.3 \cdot 10.24) + (0.2 \cdot 51.84) \]

Выполним умножения:

\[ D(Y) = 15.488 + 2.304 + 0.128 + 3.072 + 10.368 \]

Сложим все значения:

\[ D(Y) = 31.36 \]

Второй способ нахождения дисперсии:

Существует альтернативная формула для дисперсии:

\[ D(Y) = M(Y^2) - \big(M(Y)\big)^2 \]

2.1. Вычисляем \( M(Y^2) \):

\[ M(Y^2) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot Y_i^2 \]

Сначала находим \( Y_i^2 \):

\[ 48^2 = 2304, \quad 44^2 = 1936, \quad 40^2 = 1600, \quad 36^2 = 1296, \quad 32^2 = 1024 \]

Теперь умножаем \( Y_i^2 \) на \( P_i \) и складываем:

\[ M(Y^2) = (0.2 \cdot 2304) + (0.1 \cdot 1936) + (0.2 \cdot 1600) + (0.3 \cdot 1296) + (0.2 \cdot 1024) \]

Выполним умножения:

\[ M(Y^2) = 460.8 + 193.6 + 320 + 388.8 + 204.8 \]

Сложим результаты:

\[ M(Y^2) = 1568 \]

2.2. Вычисляем \( (M(Y))^2 \):

\[ M(Y) = 39.2, \quad (M(Y))^2 = 39.2^2 = 1536.64 \]

2.3. Находим \( D(Y) \):

\[ D(Y) = M(Y^2) - \big(M(Y)\big)^2 \]

\[ D(Y) = 1568 - 1536.64 = 31.36 \]

Итоговый ответ:

• Математическое ожидание: \( M(Y) = 39.2 \)
• Дисперсия: \( D(Y) = 31.36 \)

Ответ: \( D(Y) = 31.36 \).