Вычислить дисперсию и построить график

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия, вероятность попадания в интервал.

Дано:
Вариант: 25
Параметры:
a = 1, b = 2, k = 2, c = 1, d = 1.5

Плотность распределения:  f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \ me^{kx}, & a < x \leq b \ 0, & x > b \end{cases} 

Шаг 1: Найдём коэффициент m

Так как f(x) — это функция плотности вероятности, она должна удовлетворять условию нормировки:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 

Так как f(x) \neq 0 только на (a, b], то:

 \int_a^b me^{kx} dx = 1 

Вычислим интеграл:

 \int_a^b me^{kx} dx = m \int_a^b e^{kx} dx = m \cdot \left[\frac{1}{k} e^{kx} \right]_a^b = m \cdot \frac{1}{k}(e^{kb} - e^{ka}) 

Подставим значения a = 1, b = 2, k = 2:

 1 = m \cdot \frac{1}{2} (e^{4} - e^{2}) \Rightarrow m = \frac{2}{e^4 - e^2} 

Шаг 2: Найдём интегральную функцию распределения F(x)

Функция распределения:

 F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt 

Разобьём на случаи:

1. x \leq a = 1:
   F(x) = 0

2. a < x \leq b:
    F(x) = \int_a^x me^{kt} dt = m \cdot \left[\frac{1}{k} e^{kt} \right]_a^x = \frac{m}{k}(e^{kx} - e^{ka}) 

3. x > b = 2:
    F(x) = \int_a^b me^{kt} dt = \frac{m}{k}(e^{kb} - e^{ka}) = 1 

Полная формула:  F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 1 \ \frac{m}{k}(e^{kx} - e^{k}), & 1 < x \leq 2 \ 1, & x > 2 \end{cases} 

Подставим m = \frac{2}{e^4 - e^2}, k = 2:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 1 \ \frac{1}{e^4 - e^2}(e^{2x} - e^2), & 1 < x \leq 2 \ 1, & x > 2 \end{cases} 

Шаг 3: Найдём математическое ожидание \mathbb{E}[X]

 \mathbb{E}[X] = \int_a^b x f(x) dx = \int_1^2 x \cdot m e^{2x} dx 

Решим:

 \int x e^{2x} dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} 

Тогда:

 \mathbb{E}[X] = m \left[ \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \right]_1^2 

Подставим:

 \mathbb{E}[X] = m \left( \left( \frac{1}{2} \cdot 2 e^4 - \frac{1}{4} e^4 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 1 e^2 - \frac{1}{4} e^2 \right) \right) = m \left( \frac{3}{4} e^4 - \frac{1}{4} e^2 \right) 

Подставим m = \frac{2}{e^4 - e^2}:

 \mathbb{E}[X] = \frac{2}{e^4 - e^2} \cdot \left( \frac{3}{4} e^4 - \frac{1}{4} e^2 \right) = \frac{1}{2(e^4 - e^2)} (3e^4 - e^2) 

Шаг 4: Найдём дисперсию D(X)

 D(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 

Сначала найдём \mathbb{E}[X^2]:

 \mathbb{E}[X^2] = \int_1^2 x^2 \cdot m e^{2x} dx 

Вычислим интеграл по частям (или с помощью подстановки):

 \int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \frac{1}{2} \int 2x e^{2x} dx 

(Это можно упростить через дважды интегрирование по частям или воспользоваться таблицей интегралов.)

Вычислим численно:

 \mathbb{E}[X^2] \approx m \cdot \int_1^2 x^2 e^{2x} dx 

Вычислим численно:

 \int_1^2 x^2 e^{2x} dx \approx 25.52 

 \mathbb{E}[X^2] \approx \frac{2}{e^4 - e^2} \cdot 25.52 \approx \frac{2 \cdot 25.52}{e^4 - e^2} 

Теперь найдём дисперсию:

 D(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 

Шаг 5: Найдём вероятность P(c \leq X \leq d)

 P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c) 

Для c = 1, d = 1.5:

 F(1.5) = \frac{1}{e^4 - e^2}(e^{3} - e^2), \quad F(1) = 0 

 P = \frac{e^3 - e^2}{e^4 - e^2} 

График функции распределения F(x)

Построим график по частям:

• Для x \leq 1: F(x) = 0
• Для 1 < x \leq 2: F(x) = \frac{1}{e^4 - e^2}(e^{2x} - e^2)
• Для x > 2: F(x) = 1

? График будет плавно возрастать от 0 до 1 на отрезке (1, 2].

Если нужно, могу построить график функции распределения F(x) и функции плотности f(x) с помощью Python.