Вычисление вероятности того, что количество аварий среди всех застрахованных автомобилей не превзойдет 100

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Приближенные методы вычисления вероятностей (локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, распределение Пуассона)

Решение:

У нас имеется 1200 застрахованных автомобилей, и каждый из них может попасть в аварию с вероятностью 0.08. Количество аварий среди всех автомобилей можно описать с помощью биномиального распределения:

P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}

где:

• n = 1200 — общее число автомобилей,
• p = 0.08 — вероятность аварии для каждого автомобиля,
• X — случайная величина, обозначающая количество аварий.

Нам нужно вычислить вероятность того, что количество аварий не превысит 100, то есть P(X \leq 100).

Приближенные методы:
Так как n велико, а p не слишком близко к 0 или 1, можно воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения (центральная предельная теорема или интегральная теорема Муавра-Лапласа).

Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения:

• \mathbb{E}[X] = np = 1200 \cdot 0.08 = 96,
• D[X] = np(1 - p) = 1200 \cdot 0.08 \cdot 0.92 = 88.32,
• стандартное отклонение: \sigma = \sqrt{88.32} \approx 9.4.

Используем нормальное приближение:
X \approx \mathcal{N}(96, 88.32).

Для вычисления P(X \leq 100) стандартируем случайную величину:
Z = \frac{X - 96}{\sigma} = \frac{100 - 96}{9.4} \approx 0.43.

Теперь находим P(Z \leq 0.43) по таблице стандартного нормального распределения. Это значение примерно равно 0.6664.

Вывод:

Для вычисления вероятности P(X \leq 100) следует использовать нормальное приближение биномиального распределения (интегральную теорему Муавра-Лапласа).