Выбрать случайным образом 3 специалистов, и среди них 1 должен иметь высшее экономическое образование

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика

Раздел: Теория вероятностей и комбинаторика

Анализ задачи:

Мы знаем:

• Всего специалистов \( n = 55 \).
• Количество специалистов с высшим экономическим образованием \( m = 11 \).
• Требуется выбрать случайным образом 3 специалистов, и среди них 1 должен иметь высшее экономическое образование.

Вероятность такого события рассчитывается как отношение числа благоприятных событий к общему количеству возможных событий.

1. Используем для расчетов формулы из комбинаторики.
2. Обозначением C(n, k) (число сочетаний) вычисляем количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \):

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

Решение:

Шаг 1. Общее количество способов выбрать 3 специалистов:

Общее количество способов выбрать 3 специалистов из 55 (все возможные случаи):

\[ C(55, 3) = \frac{55 \cdot 54 \cdot 53}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 26110 \]

Шаг 2. Количество способов, когда 1 из 3 специалистов имеет высшее образование:

Чтобы среди выбранных специалистов был только 1 с высшим экономическим образованием, нужно:

1. Выбрать 1 специалиста с высшим образованием (из 11):

\[ C(11, 1) = 11 \]

2. Выбрать 2 специалистов без высшего образования (из оставшихся \( 55 - 11 = 44 \)):

\[ C(44, 2) = \frac{44 \cdot 43}{2 \cdot 1} = 946 \]

Общее количество благоприятных исходов:

\[ C(11, 1) \cdot C(44, 2) = 11 \cdot 946 = 10406 \]

Шаг 3. Вероятность события:

Вероятность того, что среди выбранных 3 специалистов будет 1 с высшим экономическим образованием, равна:

\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все исходы}} = \frac{10406}{26110} \]

Упрощаем дробь:

\[ P = 0.3986 \approx 39.86\% \]

Ответ:

Вероятность того, что среди случайно выбранных 3 специалистов 1 имеет высшее экономическое образование, составляет примерно 39.86%.

Объяснение:

1. Определили общее количество всех возможных комбинаций (когда выбираются любые 3 специалиста).
2. Вычислили количество комбинаций, где ровно 1 из выбранных специалистов имеет высшее экономическое образование.
3. Разделив благоприятные исходы на все возможные, получили искомую вероятность.

В ходе решения мы:

• Определим значение переменной x
• Найдём корень квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0
• Рассмотрим предельный переход \lim_{x \to 0} f(x)
• Проверим неравенство a + b > c