Выбрать правильное выражение для функции распределения случайной величины, если случайная величина имеет показательное распределение

Определение предмета и раздела:

Предмет задания — Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел — Распределения случайных величин, конкретно — Показательное распределение.

Решение задания:

Нас просят выбрать правильное выражение для функции распределения случайной величины $\text{(}F(x)\text{)}$, если случайная величина имеет показательное распределение.

Определимся с функцией распределения

Показательное распределение задаётся плотностью вероятности $\text{(}f(x)\text{)}$:

$\text{[}f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}\text{]}$

где $\text{(}\lambda >0\text{)}$ — параметр распределения.

Функция распределения $\text{(}F(x)\text{)}$ определяется как:

$\text{[}F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt.\text{]}$

Вычислим $\text{(}F(x)\text{)}$:

1. Если $\text{(}x<0\text{)}$:

   $\text{[}F(x)=0,\text{так как }f(x)=0\text{ на области }x<0.\text{]}$

2. Если $\text{(}x\ge 0\text{)}$:

   $\text{[}F(x)={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt.\text{]}$

   Первоначально найдём неопределённый интеграл:

   $\text{[}\int \lambda e^{-\lambda t}dt=-e^{-\lambda t}+C.\text{]}$

   Подставим пределы интегрирования от $\text{(}0\text{)}$ до $\text{(}x\text{)}$ и найдём результат:

   $\text{[}F(x)={[-e^{-\lambda t}]}_0^x=(-e^{-\lambda x})-(-e^{-\lambda \cdot 0})=1-e^{-\lambda x}.\text{]}$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$\text{[}F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1-e^{-\lambda x},& x\ge 0.\end{array}\text{]}$

Выбор ответа:

Правильный ответ:

$\text{[}F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1-e^{-\lambda x},& x\ge 0.\end{array}\text{]}$

Соответствующий вариант — $\text{(}F(x)=\{0,x\text{)}$.