Выбрать правильное выражение для функции распределения случайной величины, если случайная величина имеет показательное распределение

Определение предмета и раздела:

Предмет задания — Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел — Распределения случайных величин, конкретно — Показательное распределение.

Решение задания:

Нас просят выбрать правильное выражение для функции распределения случайной величины \(F(x)\), если случайная величина имеет показательное распределение.

Определимся с функцией распределения

Показательное распределение задаётся плотностью вероятности \( f(x) \):

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases} \]

где \(\lambda > 0\) — параметр распределения.

Функция распределения \(F(x)\) определяется как:

\[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt. \]

Вычислим \( F(x) \):

1. Если \( x < 0 \):

   \[ F(x) = 0, \quad \text{так как \(f(x) = 0\) на области \(x < 0\)}. \]

2. Если \(x \geq 0\):

   \[ F(x) = \int_{0}^x \lambda e^{-\lambda t} \, dt. \]

   Первоначально найдём неопределённый интеграл:

   \[ \int \lambda e^{-\lambda t} \, dt = -e^{-\lambda t} + C. \]

   Подставим пределы интегрирования от \(0\) до \(x\) и найдём результат:

   \[ F(x) = \left[-e^{-\lambda t} \right]_0^x = \left(-e^{-\lambda x}\right) - \left(-e^{-\lambda \cdot 0}\right) = 1 - e^{-\lambda x}. \]

Таким образом, функция распределения имеет вид:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0. \end{cases} \]

Выбор ответа:

Правильный ответ:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0. \end{cases} \]

Соответствующий вариант — \( F(x) = \{0, x \).