Вероятность того, что изменение курса акций за определенный день будет меньше математического ожидания

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Непрерывные случайные величины

Рассмотрим пункт (д) — вероятность того, что изменение курса акций за определенный день будет меньше математического ожидания ( M[X] ).

1. Найдем математическое ожидание ( M[X] )

Математическое ожидание определяется как:
 M[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx 
По условию плотность вероятности задана в интервале ([-2;1]), поэтому:
 M[X] = \int_{-2}^{1} x \cdot 2C(x+2) dx 
Ранее (в пункте (б)) было найдено, что ( C = \frac{1}{9} ), подставляем:
 M[X] = \int_{-2}^{1} x \cdot 2 \cdot \frac{1}{9} (x+2) dx = \frac{2}{9} \int_{-2}^{1} x (x+2) dx 
Рассчитаем интеграл:
 \int x(x+2)dx = \int (x^2 + 2x)dx = \frac{x^3}{3} + x^2 
Подставляем пределы:
 \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 4 \right) 
 = \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) - \left( \frac{-8}{3} + \frac{12}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0 
Таким образом, ( M[X] = 0 ).

2. Найдем вероятность ( P(X < M[X]) = P(X < 0) )

Функция распределения ( F_X(x) ) для ( x \in [-2,1] ) определяется как:
 F_X(x) = \int_{-2}^{x} 2C(t+2) dt 
Рассчитаем ( F_X(0) ):
 F_X(0) = \int_{-2}^{0} 2 \cdot \frac{1}{9} (t+2) dt = \frac{2}{9} \int_{-2}^{0} (t+2) dt 
 = \frac{2}{9} \left[ \frac{t^2}{2} + 2t \right]_{-2}^{0} 
 = \frac{2}{9} \left( (0 + 0) - \left( \frac{4}{2} + 2(-2) \right) \right) 
 = \frac{2}{9} \left( 0 - (2 - 4) \right) = \frac{2}{9} \cdot 2 = \frac{4}{9} 

Таким образом, вероятность того, что изменение курса акций за день окажется меньше математического ожидания, составляет:
 P(X < M[X]) = \frac{4}{9}