Вероятность рождения мальчика . Считая применимымилокальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа, вычислить вероятность события

Этот пример из области теории вероятностей и математической статистики. Конкретно, задание части теорем Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа

1. Локальная теорема Муавра-Лапласа позволяет аппроксимировать вероятность отдельного числа успехов в серии экспериментов.
2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет аппроксимировать вероятность набора успехов в серии экспериментов.

Дано: \[ p = 0.512 \]

Зададим задачу: Выразим наши вероятности через биномиальное распределение и затем применим центральную предельную теорему.

Обозначения:
- \( n \) — количество экспериментов.
- \( k \) — количество успехов.

НЫПОЛНИЛСЯ ПЕРВОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ТЕОРЫ МУАВРА ЛАПЛАСА

1. Применить локальную теорему Муавра-Лапласа:
   Локальная теорема Муавра-Лапласа: \( P(k) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}} e^{-\frac{(k - np)^2}{2np(1 - p)}} \) где:
   - \( n \) — количество испытаний.
   - \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании.
   - \( k \) — количество успехов.
2. Применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
   Интегральная теорема Муавра-Лапласа: \[ P(a \leq \frac{k - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \leq b) \approx \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx \] где:
   - \( n \) — общее количество испытаний.
   - \( p \) — вероятность успеха каждого испытания.
   - \( k \) — количество успехов.
   - \( a \) и \( b \) — границы интервала.

Для применения теоремы Муавра-Лапласа определим границы \( a \) и \( b \). Предположим, если нам нужно найти вероятность интервала от \( k_1 \) до \( k_2 \), наше \( x \) должно варьироваться от: \[ \frac{k_1 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} и \frac{k_2 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \]

Пример:

Предположим, \( n = 100 \) и мы хотим найти вероятность того, что \( k \) лежит в пределах от \( 45 \) до \( 55 \).
- \( np = 100 * 0.512 = 51.2 \)
- \( \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 * 0.512 * 0.488} \approx 5.00 \)
Теперь определим границы:
\[ a = \frac {45 - 51.2}{5} = -1.24 \]
\[ b = \frac {55 - 51.2}{5} = 0.76 \]
Итак, вероятность:
\[ \int_{-1.24}^{0.76} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx \]

Решение:

Вычислим интеграл с помощью таблиц значений функции распределения нормального распределения \( \Phi(x) \).
\[ \Phi(0.76) - \Phi(-1.24) \approx 0.7764 - 0.1075 = 0.6689 \]
Это приближенная вероятность того, что количество мальчиков в 100 испытаниях будет между 45 и 55, при условии, что вероятность рождения мальчика равна 0.512.

Вывод:

Пользуясь теоремой Муавра-Лапласа, мы нашли, что вероятность этого события составляет примерно 0.6689 или около 67%.