Вероятность попадания равномерно распределеннойна [a, b] случайной величины в интервал [α β]⊂ [a, b] вычисляется по формуле

РАЗБОР ЗАДАЧИ

Для равномерно распределённой случайной величины \( X \) на отрезке [a, b], плотность распределения \( f_X(x) \) постоянна и равна:

\[ f_X(x) = \frac{1}{b-a}, \quad x \in [a, b]. \]

Вероятность попадания случайной величины \( X \) в интервал [\alpha, \beta], где [\alpha, \beta] \subseteq [a, b], вычисляется по формуле:

\[ P(\alpha \leq X \leq \beta) = \int_{\alpha}^{\beta} f_X(x) \, dx. \]

Подставляем плотность \( f_X(x) = \frac{1}{b-a} \):

\[ P(\alpha \leq X \leq \beta) = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{b-a} \, dx. \]

Результат интеграла:

\[ P(\alpha \leq X \leq \beta) = \frac{1}{b-a} (\beta - \alpha). \]

Итак, вероятность для равномерно распределённой случайной величины равна:

\[ P(\alpha \leq X \leq \beta) = \frac{\beta - \alpha}{b - a}. \]

АНАЛИЗ ВАРИАНТОВ

1. \( \textbf{a. } P(\alpha \leq X \leq \beta) = \beta - \alpha + a + b \) — неверно. Формула не соответствует закону равномерного распределения.
2. \( \textbf{b. } P(\alpha \leq X \leq \beta) = \alpha + \beta + a + b \) — неверно. В формуле используются ошибочные математические операции.
3. \( \textbf{c. } P(\alpha \leq X \leq \beta) = \frac{\alpha + \beta}{b - a} \) — неверно. Формула для равномерного распределения не включает сумму \(\alpha + \beta\).
4. \( \textbf{d. } P(\alpha \leq X \leq \beta) = \frac{\beta - \alpha}{b - a} \) — верно. Это корректная формула для вероятности в случае равномерного распределения.

ОТВЕТ

Правильный вариант: d. \( P(\alpha \leq X \leq \beta) = \frac{\beta - \alpha}{b - a} \).