Вероятность, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0.03, - б) Наиболее вероятное число появления события, - в) Вероятность того, что событие появится не менее 90 раз

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Законы больших чисел, биноминальное распределение.

Данная задача связана с вероятностями событий и распределением вероятностей в большом числе испытаний. Для её решения применяются понятия законов больших чисел, биномиального распределения и центральной предельной теоремы.

Условия задачи:

• Вероятность появления события в одном испытании \( p = 0.9 \),
• Количество испытаний \( n = 100 \).

Необходимо найти:

1. Вероятность, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0.03,
2. Наиболее вероятное число появления события,
3. Вероятность того, что событие появится не менее 90 раз.

Решение:

а) Вероятность, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0.03.

Относительная частота — это отношение числа появлений события \( m \) к числу испытаний \( n \), то есть \( \frac{m}{n} \). Нужно, чтобы:

\[ | \frac{m}{n} - p | \leq 0.03 \]

Это означает, что:

\[ p - 0.03 \leq \frac{m}{n} \leq p + 0.03 \]

Подставим \( p = 0.9 \). Получаем:

\[ 0.87 \leq \frac{m}{n} \leq 0.93 \]

Так как \( n = 100 \), умножаем результат на \( n \):

\[ 0.87 \times 100 \leq m \leq 0.93 \times 100 \]

\[ 87 \leq m \leq 93 \]

Таким образом, число появлений события \( m \) должно находиться в пределах от 87 до 93 включительно. Для решения этого вопроса удобно использовать предельную теорему. Число успешных испытаний \( m \) принимает биномиальное распределение \( B(n = 100, p = 0.9) \), однако его можно аппроксимировать нормальным распределением \( N(np, np(1-p)) \), где:

• Математическое ожидание \( \mu = np = 100 \times 0.9 = 90 \),
• Дисперсия \( \sigma^2 = np(1 - p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9 \),
• Среднеквадратичное отклонение \( \sigma = \sqrt{9} = 3 \).

Теперь рассчитаем нормализованные границы с условием \( m \in [87, 93] \). Нормализация производится по следующей формуле (среднее значение \( \mu \) и стандартное отклонение \( \sigma \)):

\[ z = \frac{m - \mu}{\sigma} \]

Для \( m = 87 \):

\[ z_1 = \frac{87 - 90}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \]

Для \( m = 93 \):

\[ z_2 = \frac{93 - 90}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Теперь воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения для значений \( z_1 = -1 \) и \( z_2 = 1 \):

• Вероятность для \( z_1 = -1 \) приблизительно равна 0.1587,
• Вероятность для \( z_2 = 1 \) приблизительно равна 0.8413.

Итак, искомая вероятность:

\[ P(87 \leq m \leq 93) = P(-1 \leq z \leq 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 \]

Таким образом, вероятность, что относительная частота не отклонится от вероятности появления события более чем на 0.03, равна приблизительно 0.68 (или 68%).

б) Наиболее вероятное число появления события.

Наиболее вероятное число появления события в биноминальном распределении \( B(n = 100, p = 0.9) \) — это математическое ожидание:

\[ m_{\text{max}} = np = 100 \times 0.9 = 90 \]

Следовательно, наиболее вероятное число появления события — 90 раз.

в) Вероятность того, что событие появится не менее 90 раз.

Для решения этого пункта воспользуемся аппроксимацией биномиального распределения нормальным распределением \( N(90, 9) \), которая была приведена выше, и найдем вероятность \( P(m \geq 90) \). Приведем значение \( m = 90 \) к стандартному виду:

\[ z = \frac{90 - 90}{3} = 0 \]

Из таблицы стандартного нормального распределения:

• \( P(z \geq 0) \) = 0.5.

Теперь для \( m = 90 \). Однако нужно учесть не только \( z > 0 \), но и все значения больше 90 (так как нас интересует "не менее"). Эта вероятность будет равна:

\[ P(m \geq 90) \approx P(z > 0) = 0.5 \]

Ответы:

• а) \( P(| \frac{m}{n} - p | \leq 0.03) \approx 0.68 \) или 68%.
• б) Наиболее вероятное число появления события: 90 раз.
• в) Вероятность того, что событие появится не менее 90 раз: 0.5 или 50%.

Ответ: вероятность того, что событие появится не менее 90 раз, составляет 0.5 или 50\%.