В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки независимые и равновероятные события, выяснить вероятность того, что оба ребенка- мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.
Это задание по теории вероятностей, которое является частью курса математики. Для решения задания воспользуемся условной вероятностью. Давайте обозначим события следующим образом:
- \( A \): в семье оба ребёнка — мальчики.
- \( B \): в семье есть хотя бы один мальчик.
Наша цель — найти условную вероятность события \( A \) при условии, что произошло событие \( B \), т.е. \( P(A|B) \). Полезно помнить формулу условной вероятности: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Первое, что нам нужно сделать, это определить вероятности \( P(A) \) и \( P(B) \).
- Определение вероятности \( P(A) \): Событие \( A \) подразумевает, что оба ребёнка — мальчики. Вероятность рождения мальчика и девочки равна \( \frac{1}{2} \). Поскольку дети рождаются независимо друг от друга, вероятность того, что оба ребёнка будут мальчиками: \[ P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
- Определение вероятности \( P(B) \): Событие \( B \) подразумевает, что в семье есть хотя бы один мальчик. Рассмотрим все возможные варианты рождения двух детей:
- Мальчик и мальчик (ММ)
- Мальчик и девочка (МД)
- Девочка и мальчик (ДМ)
- Девочка и девочка (ДД)
Из этих четырёх вариантов три содержат хотя бы одного мальчика, и только в одном варианте (ДД) мальчиков нет. Следовательно, вероятность события \( B \): \[ P(B) = \frac{3}{4} \]
- Определение вероятности совместного события \( A \cap B \): Если оба ребёнка — мальчики (событие \( A \)), то очевидно, что в семье есть хотя бы один мальчик (событие \( B \)). Следовательно, вероятность совместного события \( A \cap B \) равна вероятности события \( A \): \[ P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{4} \]
- Теперь применим формулу условной вероятности: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \]
Таким образом, вероятность того, что оба ребёнка — мальчики, при условии, что в семье есть хотя бы один мальчик, равна: \[ P(A|B) = \frac{1}{3} \]
Ответ: \( \frac{1}{3} \) или примерно \( 0.333 \) (33.33%).