Узнать число проб (общее количество отливок), чтобы с вероятностью больше 0.95 после проверки получить не менее 35 годных отливок

Это задача по теории вероятностей и математической статистике, а именно на тему биномиального распределения.

Шаг 1: Определим основные параметры задачи.

• Вероятность получить годную отливку при единичной попытке: \( p = 0.6 \).
• Требуется получить не менее \( 35 \) годных отливок.
• Необходимо узнать число проб \( n \) (общее количество отливок), чтобы вероятность получить \( \geq 35 \) годных отливок была больше \( 0.95 \).

Шаг 2: Моделируем количество годных отливок как случайную величину.

Пусть случайная величина \( X \) — это количество годных отливок при \( n \) попытках. \( X \) подчиняется биномиальному распределению с параметрами \( n \) (общее количество отливок) и \( p = 0.6 \) (вероятность успеха на каждой попытке):

\[ X \sim Binom(n, p). \]

Задача состоит в следующем: найти минимальное \( n \), чтобы выполнялось условие:

\[ P(X \geq 35) > 0.95. \]

Шаг 3: Оценим параметры выборки с использованием нормальной аппроксимации.

Для больших \( n \) биномиальное распределение \( Binom(n, p) \) можно приблизить нормальным распределением:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2), \]

где:

\[ \mu = np \quad \text{(математическое ожидание)}, \]

\[ \sigma^2 = np(1 - p) \quad \text{(дисперсия)}. \]

Производим расчет для значений математического ожидания и дисперсии:

\[ \mu = np, \]

\[ \sigma = \sqrt{np(1 - p)}. \]

Теперь при нормальной аппроксимации вероятность \( P(X \geq 35) \) можно записать в виде:

\[ P\left( X \geq 35 \right) \approx P\left( \frac{X - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \geq \frac{35 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right). \]

Шаг 4: Нормируем и решаем задачу.

Для решения задачи потребуется использовать таблицы стандартного нормального распределения или использовать численный метод для поиска подходящего значения \( n \). Этому можно посвятить отдельное комплексное решение, однако текущий инструментарий.