Цепь содержит 90 однотипных элементов

Это задание относится к статистике и теории вероятностей, а также может касаться теории надежности. Решим его, детально объясняя каждый шаг.

Шаг 1: Понимание задачи

• Есть цепь, состоящая из 90 однотипных элементов.
• Вероятность выхода из строя одного элемента в течение времени \( t \) равна \( 0,15 \).
• Требуется найти вероятность того, что в течение времени \( t \) выйдут из строя не более 10 элементов.

Шаг 2: Формулировка модели

Пусть случайная величина \( X \) обозначает количество вышедших из строя элементов в течение времени \( t \). Заметим, что \( X \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n = 90 \) и \( p = 0,15 \):

\[ X \sim \text{Bin}(90, 0.15) \]

Шаг 3: Вычисление вероятности

Нужно найти вероятность того, что выйдут из строя не более 10 элементов:

\[ P(X \leq 10) \]

Шаг 4: Использование биномиальной формулы

Биномиальное распределение задается формулой:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\)
• \(p\) — вероятность выхода из строя одного элемента
• \( (1 - p)\) — вероятность того, что элемент не выйдет из строя

Шаг 5: Вручную размотать вероятность

Подсчитать каждую вероятность вручную для \( k = 0 \) до \( k = 10 \) можно, но это не самый эффективный путь. Более логичным было бы использовать либо специальную функцию в программных пакетах вроде Excel, R, Python (SciPy), либо воспользоваться нормальным приближением.

Шаг 6: Использование нормального приближения

При достаточно большом \( n \) и умеренном \( p \), биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением \( N(\mu, \sigma^2) \), где:

• \(\mu = np = 90 \times 0.15 = 13.5 \)
• \(\sigma^2 = np(1 - p) = 90 \times 0.15 \times (1 - 0.15) = 11.475\)

Так как нужно рассмотреть вероятность выхода из строя не более 10 элементов, применим поправку на непрерывность:

\[ P(X \leq 10) \approx P\left( X \leq 10.5 \right) \]

Шаг 7: Преобразование к стандартному нормальному распределению

Используя преобразование к стандартному нормальному распределению:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

где \( \mu = 13.5 \) и \( \sigma \approx \sqrt{11.475} \approx 3.387 \). Тогда:

\[ Z = \frac{10.5 - 13.5}{3.387} \approx -0.885 \]

Шаг 8: Поиск вероятности по стандартному нормальному распределению

Теперь нужно найти \( P(Z \leq -0.885) \) по таблице стандартного нормального распределения. Эта вероятность примерно равна \( 0.188 \). Таким образом, вероятность того, что в течение времени \( t \) выйдут из строя не более 10 элементов, приблизительно равна \( 0.188 \) или \( 18.8\% \).