Стрелок попадает в цель с вероятностью 0.6. найти вероятность числа попаданий при 8 выстрелах

Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Теория вероятностей".

Задание связано с нахождением вероятности числа попаданий при определенном числе выстрелов. Это классическая задача биномиального распределения. В теории вероятностей биномиальное распределение описывает количество попаданий при \( n \) независимых испытаниях (например, выстрелах), где каждое испытание имеет два возможных исхода: успех (попадание) с вероятностью \( p \) и неуспех (промах) с вероятностью \( q = 1 - p \). Формула биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

• \( P(X = k) \) — вероятность ровно \( k \) успехов,
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, означающий количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний,
• \( p \) — вероятность успеха для каждого отдельного испытания,
• \( (1 - p) \) — вероятность неуспеха (промаха),
• \( n \) — общее количество испытаний (выстрелов),
• \( k \) — количество успехов (попаданий).

В данном задании:

• \( n = 8 \) (число выстрелов),
• \( p = 0.6 \) (вероятность попадания).

Для каждой конкретной величины \( k \) (число попаданий от 0 до 8), можно рассчитать вероятность с использованием формулы биномиального распределения.

Рассмотрим пример подсчета вероятности получения ровно \( k = 5 \) попаданий.

1. Вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{8}{5} \):

\[ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \]
\[ \binom{8}{5} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \]

2. Вычислим \( p^5 \):

\[ p^5 = 0.6^5 \]
\[ p^5 ≈ 0.07776 \]

3. Вычислим \( (1 - p)^{8 - 5} = (1 - 0.6)^3 = 0.4^3 \):

\[ 0.4^3 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.064 \]

4. Подставляем все значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X = 5) = 56 \cdot 0.07776 \cdot 0.064 ≈ 0.2785 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в цель ровно 5 раз из 8 выстрелов составляет примерно \( 0.2785 \) или 27.85%.

Аналогично можно вычислить вероятность числа попаданий для всех значений \( k \) от 0 до 8.