Составьте закон распределения числа выйгрешных билетов при покупке 3х билетов

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Законы распределения случайных величин

Мы будем составлять закон распределения дискретной случайной величины, где случайная величина \( X \) обозначает количество выигрышных билетов среди 3 купленных билетов.

Шаг 1. Определяем условия задачи.

• Вероятность того, что билет окажется выигрышным: \( p = 0.2 \).
• Вероятность того, что билет окажется проигрышным: \( q = 1 - p = 0.8 \).
• Число купленных билетов: \( n = 3 \).

Случайная величина \( X \) — количество выигрышных билетов, может принимать значения:

\[ X \in \{0, 1, 2, 3\}. \]

Так как результаты зависят от вероятности успешного исхода и билеты рассматриваются независимо друг от друга, случайная величина \( X \) подчиняется биномиальному распределению.

Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении такова:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \]

где:

• \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний (сколько способов можно выбрать \( k \) выигрышных билетов из \( n \)),
• \( p \) — вероятность успеха (выигрышного билета),
• \( q \) — вероятность неуспеха (проигрышного билета),
• \( n \) — общее число билетов.

Шаг 2. Считаем вероятности для каждого значения \( X \).

Для \( n = 3 \), \( p = 0.2 \), \( q = 0.8 \), вычислим вероятности для \( X = 0 \), \( X = 1 \), \( X = 2 \), и \( X = 3 \).

1. Для \( X = 0 \):

   \[ P(X = 0) = C_3^0 \cdot p^0 \cdot q^3 = 1 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.512 = 0.512. \]

2. Для \( X = 1 \):

   \[ P(X = 1) = C_3^1 \cdot p^1 \cdot q^2 = 3 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^2 = 3 \cdot 0.2 \cdot 0.64 = 3 \cdot 0.128 = 0.384. \]

3. Для \( X = 2 \):

   \[ P(X = 2) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^1 = 3 \cdot 0.04 \cdot 0.8 = 3 \cdot 0.032 = 0.096. \]

4. Для \( X = 3 \):

   \[ P(X = 3) = C_3^3 \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^0 = 1 \cdot 0.008 \cdot 1 = 0.008. \]

Шаг 3. Запишем закон распределения случайной величины \( X \).

Теперь запишем все полученные вероятности в таблицу:

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline X & P(X) \\ \hline 0 & 0.512 \\ 1 & 0.384 \\ 2 & 0.096 \\ 3 & 0.008 \\ \hline \end{array} \]

Шаг 4. Проверка нормы закона распределения.

Сумма всех вероятностей должна равняться 1:

\[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.512 + 0.384 + 0.096 + 0.008 = 1. \]

Условие выполнено.

Ответ: Закон распределения случайной величины \( X \), где \( X \) — число выигрышных билетов при покупке 3 билетов:

\[ P(X = 0) = 0.512, \quad P(X = 1) = 0.384, \quad P(X = 2) = 0.096, \quad P(X = 3) = 0.008. \]