Составить закон распределения затраченного студентом времени. Найти вероятность того, что студент затратит не более 12 секунд

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, закон распределения, геометрическое распределение

Задача 6 (формулировка):
На экзамен предложено 5 билетов. Студент выучил билеты только с чётными номерами. Преподаватель разрешил студенту тянуть билеты до тех пор, пока тот не возьмет выученный билет. На каждую попытку студент тратит 4 секунды.

1. Составить закон распределения затраченного студентом времени.
2. Найти вероятность того, что студент затратит не более 12 секунд.

Шаг 1: Анализ условий

Всего билетов: 5
Выученные билеты: только чётные номера → это билеты №2 и №4
Значит, благоприятные исходы: 2 из 5 → вероятность вытащить выученный билет:
P = \frac{2}{5}
Вероятность неудачи (вытянуть невыученный):
q = 1 - P = \frac{3}{5}

Студент тянет билеты до первого успеха (выученного билета). Это схема Бернулли до первого успеха, т.е. геометрическое распределение.

Шаг 2: Случайная величина X — время (в секундах), которое затратит студент

Если студент вытянет выученный билет с первой попытки, он потратит 4 секунды, со второй — 8 секунд, с третьей — 12 секунд и т.д.

Пусть X — затраченное время. Тогда
X = 4k, где k — номер попытки, на которой произошёл успех.

Вероятность успеха на k-й попытке: P(X = 4k) = q^{k-1} \cdot p = \left(\frac{3}{5}\right)^{k-1} \cdot \frac{2}{5}

Шаг 3: Закон распределения X

Возможные значения X: 4, 8, 12, 16, ...
Найдем вероятности для первых трёх значений (до 12 секунд):

• P(X = 4) = \left(\frac{3}{5}\right)^0 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}
• P(X = 8) = \left(\frac{3}{5}\right)^1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25}
• P(X = 12) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{18}{125}

Шаг 4: Найти вероятность того, что студент затратит не более 12 секунд

То есть: P(X \leq 12) = P(X = 4) + P(X = 8) + P(X = 12)

Подставим значения:  P(X \leq 12) = \frac{2}{5} + \frac{6}{25} + \frac{18}{125} 

Приведем к общему знаменателю (125):  \frac{2}{5} = \frac{50}{125}, \quad \frac{6}{25} = \frac{30}{125}, \quad \frac{18}{125} = \frac{18}{125} 

Складываем:  P(X \leq 12) = \frac{50 + 30 + 18}{125} = \frac{98}{125} 

✅ Ответ:

1. Закон распределения X:  P(X = 4k) = \left(\frac{3}{5}\right)^{k-1} \cdot \frac{2}{5}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots 

2. Вероятность того, что студент затратит не более 12 секунд:  P(X \leq 12) = \frac{98}{125}