Составить закон распределения X*Y, найти математическое ожидание , ковелляцию и корреляцию

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Дискретные случайные величины и их распределение

Для начала составим закон распределения случайной величины $\text{(}Z=X\cdot Y\text{)}$.

Исходные данные:

X \ Y	2	6
1	0.2	0.3
3	0.3	0.2

Значения $\text{(}Z=X\cdot Y\text{)}$ могут быть 2, 6, 6 и 18. Мы должны вычислить их вероятности.

$\text{[}\begin{array}{rl}& Z=2:P(Z=2)=P(X=1\text{ и }Y=2)=0.2\\ & Z=6:P(Z=6)=P(X=1\text{ и }Y=6)+P(X=3\text{ и }Y=2)=0.3+0.3=0.6\\ & Z=18:P(Z=18)=P(X=3\text{ и }Y=6)=0.2\end{array}\text{]}$

Подытожим:

$\text{(}Z=X\cdot Y\text{)}$	Вероятность
2	0.2
6	0.6
18	0.2

Математическое ожидание $\text{(}E(Z)\text{)}$

$\text{[}E(Z)=\sum _i{Z}_i\cdot P(Z_i)\text{]}$ где $\text{(}{Z}_i\text{)}$ принимают значения 2, 6 и 18. $\text{[}E(Z)=2\cdot 0.2+6\cdot 0.6+18\cdot 0.2=0.4+3.6+3.6=7.6\text{]}$

Дисперсия $\text{(}Var(Z)\text{)}$

Для дисперсии нам необходимо сначала вычислить $\text{(}E(Z^2)\text{)}$:

$\text{[}E(Z^2)=\sum _i{Z}_i^2\cdot P(Z_i)\text{]}$ $\text{[}E(Z^2)=2^2\cdot 0.2+6^2\cdot 0.6+{18}^2\cdot 0.2=4\cdot 0.2+36\cdot 0.6+324\cdot 0.2=0.8+21.6+64.8=87.2\text{]}$

Теперь дисперсия ($\text{(}Var(Z)\text{)}$):

$\text{[}Var(Z)=E(Z^2)-(E(Z){)}^2=87.2-{7.6}^2=87.2-57.76=29.44\text{]}$

Ковариация и корреляция

Нам не даны распределения $\text{(}X\text{)}$ и $\text{(}Y\text{)}$ по отдельности, а также математические ожидания $\text{(}E(X)\text{)}$ и $\text{(}E(Y)\text{)}$, поэтому точно вычислить их ковариацию и корреляцию без дополнительных данных невозможно. Но если бы у нас было $\text{(}E(X)\text{)}$, $\text{(}E(Y)\text{)}$, $\text{(}Var(X)\text{)}$ и $\text{(}Var(Y)\text{)}$, мы могли бы использовать следующую форму:

Ковариация $\text{(}\text{Cov}(X,Y)\text{)}$:

$\text{[}\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\text{]}$

Корреляция $\text{(}\rho (X,Y)\text{)}$:

$\text{[}\rho (X,Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{Var(X)\cdot Var(Y)}}\text{]}$

Таким образом, без этой дополнительной информации мы не можем завершить вычисления ковариации и корреляции.