Составить закон распределения X*Y, найти математическое ожидание , ковелляцию и корреляцию

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Дискретные случайные величины и их распределение

Для начала составим закон распределения случайной величины \( Z = X \cdot Y \).

Исходные данные:

X \ Y	2	6
1	0.2	0.3
3	0.3	0.2

Значения \( Z = X \cdot Y \) могут быть 2, 6, 6 и 18. Мы должны вычислить их вероятности.

\[ \begin{aligned} &Z = 2: \quad P(Z = 2) = P(X=1 \text{ и } Y=2) = 0.2 \\ &Z = 6: \quad P(Z = 6) = P(X=1 \text{ и } Y=6) + P(X=3 \text{ и } Y=2) = 0.3 + 0.3 = 0.6 \\ &Z = 18: \quad P(Z = 18) = P(X=3 \text{ и } Y=6) = 0.2 \\ \end{aligned} \]

Подытожим:

\(Z = X \cdot Y\)	Вероятность
2	0.2
6	0.6
18	0.2

Математическое ожидание \(E(Z)\)

\[ E(Z) = \sum_{i} Z_i \cdot P(Z_i) \] где \(Z_i\) принимают значения 2, 6 и 18. \[ E(Z) = 2 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.6 + 18 \cdot 0.2 = 0.4 + 3.6 + 3.6 = 7.6 \]

Дисперсия \(Var(Z)\)

Для дисперсии нам необходимо сначала вычислить \(E(Z^2)\):

\[ E(Z^2) = \sum_{i} Z_i^2 \cdot P(Z_i) \] \[ E(Z^2) = 2^2 \cdot 0.2 + 6^2 \cdot 0.6 + 18^2 \cdot 0.2 = 4 \cdot 0.2 + 36 \cdot 0.6 + 324 \cdot 0.2 = 0.8 + 21.6 + 64.8 = 87.2 \]

Теперь дисперсия (\(Var(Z)\)):

\[ Var(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = 87.2 - 7.6^2 = 87.2 - 57.76 = 29.44 \]

Ковариация и корреляция

Нам не даны распределения \(X\) и \(Y\) по отдельности, а также математические ожидания \(E(X)\) и \(E(Y)\), поэтому точно вычислить их ковариацию и корреляцию без дополнительных данных невозможно. Но если бы у нас было \(E(X)\), \(E(Y)\), \(Var(X)\) и \(Var(Y)\), мы могли бы использовать следующую форму:

Ковариация \( \text{Cov}(X,Y) \):

\[ \text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \]

Корреляция \( \rho(X,Y) \):

\[ \rho(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{Var(X) \cdot Var(Y)}} \]

Таким образом, без этой дополнительной информации мы не можем завершить вычисления ковариации и корреляции.