Составить закон распределения случайной величины X — числа попыток, потребовавшихся для отгадывания загадки

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и их распределения

Условие задачи:

Ивану дается 3 попытки отгадать загадку. Вероятности успеха:

• С первой попытки: 0.4
• Со второй попытки: 0.5 (при условии, что первая неудачна)
• С третьей попытки: 0.7 (при условии, что первые две неудачны)

Требуется:

1. Составить закон распределения случайной величины X — числа попыток, потребовавшихся для отгадывания загадки.
2. Построить функцию распределения.
3. Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), стандартное отклонение σ(X).

1. Закон распределения случайной величины X

Пусть:

• X = 1, если загадка отгадана с первой попытки.
• X = 2, если с первой не отгадал, но со второй — да.
• X = 3, если только с третьей попытки отгадал.
• Вероятность не отгадать вовсе не рассматривается, так как с третьей попытки вероятность успеха есть (и она не нулевая).

Рассчитаем вероятности:

• P(X = 1) = 0.4
• P(X = 2) = (1 - 0.4) * 0.5 = 0.6 * 0.5 = 0.3
• P(X = 3) = (1 - 0.4) * (1 - 0.5) * 0.7 = 0.6 * 0.5 * 0.7 = 0.21

Проверим сумму вероятностей:

0.4 + 0.3 + 0.21 = 0.91

То есть существует вероятность 0.09, что загадка не будет отгадана вовсе. Добавим:

• P(X = 0) = 0.09 — случай, когда загадка не отгадана.

Тогда:

2. Функция распределения F(x)

Функция распределения F(x) — это F(x) = P(X \leq x):

• F(x) = 0 при x < 0
• F(x) = 0.09 при 0 \leq x < 1
• F(x) = 0.49 при 1 \leq x < 2
• F(x) = 0.79 при 2 \leq x < 3
• F(x) = 1 при x \geq 3

3. Математическое ожидание M(X)

 M(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) = 0 \cdot 0.09 + 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.21 = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.63 = 1.63 

4. Дисперсия D(X)

Сначала найдем M(X^2):

 M(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) = 0^2 \cdot 0.09 + 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.21 = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.89 = 3.49 

Теперь дисперсия:

 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3.49 - (1.63)^2 = 3.49 - 2.6569 = 0.8331 

5. Среднеквадратичное отклонение σ(X)

 \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.8331} \approx 0.9128 

Ответ:

• Закон распределения:

• Функция распределения:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \ 0.09, & 0 \leq x < 1 \ 0.49, & 1 \leq x < 2 \ 0.79, & 2 \leq x < 3 \ 1, & x \geq 3 \end{cases} 

• Математическое ожидание: M(X) = 1.63
• Дисперсия: D(X) = 0.8331
• Среднеквадратичное отклонение: \sigma(X) \approx 0.9128

Если хочешь, могу построить график функции распределения.