Составить закон распределения случайной величины– числа родившихся мальчиков среди 4-х новорожденных

Это задание относится к предмету Теория вероятностей в разделе Распределение случайных величин.

Шаг 1: Определение исходных данных

Количество новорожденных: \( n = 4 \)

Вероятность рождения мальчика = \( P(M) = 0.5 \)

Вероятность рождения девочки = \( P(D) = 0.5 \)

Шаг 2: Определение случайной величины

Пусть случайная величина \( X \) обозначает число родившихся мальчиков среди 4 новорожденных.

Шаг 3: Вычисление вероятностей для \( X = k \), где \( k \) - количество родившихся мальчиков

Для нахождения вероятности \( P(X = k) \) необходимо использовать биномиальное распределение, так как каждое рождение является независимым событием. Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где:

• \( \binom{n}{k} \) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
• \( n \) - общее количество экспериментов (в данном случае, рождений),
• \( k \) - количество успехов (в данном случае, рождений мальчиков),
• \( p \) - вероятность успеха в одном эксперименте,
• \( 1-p \) - вероятность неудачи в одном эксперименте.

В данном случае \( n=4 \), \( p=0.5 \).

Шаг 4: Рассчитаем вероятности для всех возможных значений \( k \) (от 0 до 4)

1. Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^4 \] \[ P(X = 0) = 1 \times 1 \times 0.0625 = 0.0625 \]
2. Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.5)^1 (0.5)^3 \] \[ P(X = 1) = 4 \times 0.5 \times 0.125 = 0.25 \]
3. Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = \binom{4}{2} (0.5)^2 (0.5)^2 \] \[ P(X = 2) = 6 \times 0.25 \times 0.25 = 0.375 \]
4. Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = \binom{4}{3} (0.5)^3 (0.5)^1 \] \[ P(X = 3) = 4 \times 0.125 \times 0.5 = 0.25 \]
5. Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \binom{4}{4} (0.5)^4 (0.5)^0 \] \[ P(X = 4) = 1 \times 0.0625 \times 1 = 0.0625 \]

Шаг 5: Составим закон распределения случайной величины \( X \)

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline k & P(X = k) \\ \hline 0 & 0.0625 \\ \hline 1 & 0.25 \\ \hline 2 & 0.375 \\ \hline 3 & 0.25 \\ \hline 4 & 0.0625 \\ \hline \end{array} \]

Таким образом, закон распределения случайной величины \( X \) — числа родившихся мальчиков среди 4 новорожденных выглядит следующим образом:

• \( P(X = 0) = 0.0625 \)
• \( P(X = 1) = 0.25 \)
• \( P(X = 2) = 0.375 \)
• \( P(X = 3) = 0.25 \)
• \( P(X = 4) = 0.0625 \)