Составить закон распределения случайной величины - числа машин, прибывших вовремя

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины и распределения (биномиальное распределение)

Условие задачи:

В пожарной части находятся 3 машины. Вероятность своевременного прибытия на пожар для каждой машины равна 0.6.
Нужно:

1. Составить закон распределения случайной величины — числа машин, прибывших вовремя.
2. Построить функцию распределения и график.
3. Найти математическое ожидание [M(X)], дисперсию [D(X)] и среднеквадратичное отклонение [\sigma(X)].

Решение:

Пусть случайная величина [X] — число машин, прибывших вовремя.
Это типичное биномиальное распределение с параметрами:

• [n = 3] — количество испытаний (машин),
• [p = 0.6] — вероятность успеха (вовремя прибыла).

Формула биномиального распределения:

 P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} 

где:

• [C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}]

Вычислим вероятности для [k = 0, 1, 2, 3]:

Закон распределения:

 \begin{aligned} P(X = 0) &= C_3^0 \cdot 0.6^0 \cdot 0.4^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.064 = 0.064 \ P(X = 1) &= C_3^1 \cdot 0.6^1 \cdot 0.4^2 = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 0.288 \ P(X = 2) &= C_3^2 \cdot 0.6^2 \cdot 0.4^1 = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 0.432 \ P(X = 3) &= C_3^3 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4^0 = 1 \cdot 0.216 \cdot 1 = 0.216 \ \end{aligned} 

Функция распределения (накопленная вероятность):

 \begin{aligned} F(0) &= P(X \leq 0) = 0.064 \ F(1) &= P(X \leq 1) = 0.064 + 0.288 = 0.352 \ F(2) &= P(X \leq 2) = 0.352 + 0.432 = 0.784 \ F(3) &= P(X \leq 3) = 0.784 + 0.216 = 1.000 \ \end{aligned} 

Математическое ожидание [M(X)]:

 M(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0.6 = 1.8 

Дисперсия [D(X)]:

 D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.72 

Среднеквадратичное отклонение [\sigma(X)]:

 \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.72} \approx 0.8485 

Таблица распределения:

График:

На графике можно изобразить:

• Столбчатую диаграмму вероятностей P(X)
• Ломаную линию функции распределения F(X)

Если хочешь — могу построить график по этим данным.