Составить закон распределения случайной величины

Задание относится к предмету математики, а именно к разделу теории вероятностей и математической статистики.

Определение задачи

У нас есть случайная величина \( X \), которая представляет собой число попаданий в самолет при выстрелах из ружья. Каждый выстрел — это независимое событие, вероятность попадания равна \( p = 0,001 \). Общее число выстрелов \( n = 3000 \).

Решение задачи

Так как выстрелы независимы и вероятность в каждом выстреле мала, можно использовать биномиальное распределение. Однако, учитывая большое число выстрелов \( n \) и малую вероятность \( p \), можно воспользоваться аппроксимацией биномиального распределения пуассоновским распределением. Пуассоновское распределение проще в данном случае:

Шаги:

1. Параметр \( \lambda \) для пуассоновского распределения: \[ \lambda = n \cdot p = 3000 \cdot 0,001 = 3 \]
2. Формула постановления распредения Пуассона: \[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] где \( k = 0, 1, 2, \ldots \)

Подставим значения:

• Для \( k = 0 \): \[ P(X=0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498 \]
• Для \( k = 1 \): \[ P(X=1) = \frac{3^1 e^{-3}}{1!} = 3e^{-3} \approx 0.1494 \]
• Для \( k = 2 \): \[ P(X=2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!} = \frac{9e^{-3}}{2} \approx 0.2240 \]
• Для \( k = 3 \): \[ P(X=3) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!} = \frac{27e^{-3}}{6} \approx 0.2240 \]
• Для \( k = 4 \): \[ P(X=4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!} = \frac{81e^{-3}}{24} \approx 0.1680 \]
• Для \( k = 5 \): \[ P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243e^{-3}}{120} \approx 0.1008 \]
• Для \( k = 6 \): \[ P(X=6) = \frac{3^6 e^{-3}}{6!} = \frac{729e^{-3}}{720} \approx 0.0504 \]

Закон распределения случайной величины \( X \): \[ \begin{aligned} P(X=0) &= 0.0498 \\ P(X=1) &= 0.1494 \\ P(X=2) &= 0.2240 \\ P(X=3) &= 0.2240 \\ P(X=4) &= 0.1680 \\ P(X=5) &= 0.1008 \\ P(X=6) &= 0.0504 \\ \vdots \end{aligned} \] Продолжать можно до тех пор, пока сумма вероятностей не станет близкой к единице. Таким образом, мы составили закон распределения случайной величины \( X \) — числа попаданий в самолет при произведенных 3000 выстрелах.