Составить закон распределения дискретной случайной величины X числа стандартных деталей среди отобранных

Этот вопрос относится к комбинационной теории вероятностей и математической статистике, что входит в раздел дискретной математики и теории вероятностей. Давайте определим случайную величину \(X\), которая представляет собой число стандартных деталей среди отобранных 4 деталей, и составим закон распределения этой случайной величины.

1. Постановка задачи и формализация: В партии 8 деталей, из которых 5 стандартных и 3 нестандартных. Мы выбираем 4 детали наугад. Случайная величина \(X\) описывает количество стандартных деталей среди выбранных.
2. Расчет вероятностей для закона распределения переменной \(X\): Возможные значения \(X\) — это \(0, 1, 2, 3\) или \(4\), т.е. \(X\) может принимать значения от 0 до 4, так как мы выбираем 4 детали. Обозначим количество комбинаций выбора \(k\) стандартных деталей из 5 как \(C(5, k)\), а из нестандартных (3 детали) выберем \((4 - k)\) деталей, что дает \(C(3, 4 - k)\). Общее число способов выбора 4 деталей из 8: \(C(8, 4)\). Используем формулу комбинаторики для биномиальных коэффициентов: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] Сначала найдем общее количество сочетаний: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8 - 4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \] Теперь найдем вероятность для каждого значения \(X\): \[ \begin{align*} P(X = 0) & = \frac{C(5, 0) \cdot C(3, 4)}{C(8, 4)} = \frac{1 \cdot 0}{70} = 0 \quad (невозможно, так как не хватает нестандартных деталей) \\ P(X = 1) & = \frac{C(5, 1) \cdot C(3, 3)}{C(8, 4)} = \frac{5 \cdot 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14} \\ P(X = 2) & = \frac{C(5, 2) \cdot C(3, 2)}{C(8, 4)} = \frac{10 \cdot 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \\ P(X = 3) & = \frac{C(5, 3) \cdot C(3, 1)}{C(8, 4)} = \frac{10 \cdot 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \\ P(X = 4) & = \frac{C(5, 4) \cdot C(3, 0)}{C(8, 4)} = \frac{5 \cdot 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14} \\ \end{align*} \] Поэтому закон распределения случайной величины \(X\) (число стандартных деталей среди отобранных) будет: \[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{14} \\ 2 & \frac{3}{7} \\ 3 & \frac{3}{7} \\ 4 & \frac{1}{14} \\ \end{array} \]
3. Нахождение математического ожидания \(M(X)\): Математическое ожидание \(M(X)\) для дискретной случайной величины определяется как сумма произведений возможных значений величины на соответствующие вероятности: \[ \begin{align*} M(X) & = \sum_{x=0}^{4} x \cdot P(X=x) \\ & = 0 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{14} + 2 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{3}{7} + 4 \cdot \frac{1}{14} \\ & = \frac{1}{14} + 2 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{3}{7} + 4 \cdot \frac{1}{14} \\ & = \frac{1}{14} + \frac{6}{7} + \frac{9}{7} + \frac{4}{14} \\ & = \frac{1}{14} + \frac{30}{14} + \frac{4}{14} = \frac{35}{14} = 2.5 \\ \end{align*} \]
4. Нахождение дисперсии \(D(X)\): Для расчета дисперсии \(D(X)\) нам необходимо сначала найти \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{x=0}^{4} x^2 \cdot P(X=x) \] \[ \begin{align*} E(X^2) & = 0^2 \cdot 0 + 1^2 \cdot \frac{1}{14} + 2^2 \cdot \frac{3}{7} + 3^2 \cdot \frac{3}{7} + 4^2 \cdot \frac{1}{14} \\ & = \frac{1}{14} + 4 \cdot \frac{3}{7} + 9 \cdot \frac{3}{7} + 16 \cdot \frac{1}{14} \\ & = \frac{1}{14} + \frac{12}{7} + \frac{27}{7} + \frac{16}{14} \\ & = \frac{1}{14} + \frac{78}/14} + \frac{16}/14}} \\ & = \frac{95}/14 \approx 6.79 \\ \end{align*} \] Дисперсия рассчитывается по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] \[ D(X) = \frac{95}/14 - (2.5)^2 = \frac{95}/14 - 6.25 \approx 6.79 - 6.25 = 0.54 \\ \] Таким образом, мы пришли к следующим результатам: \[ M(X) = 2.5 \] \[ D(X) \approx 0.54 \] Теперь мы закончили решение задачи и нашли математическое ожидание \(M(X)\) и дисперсию \(D(X)\) для данной случайной величины.