Составить закон распределения числа попыток [X], необходимых для успеха

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Случайные величины, закон распределения, дисперсия

Условие задачи:

Новому работнику предоставляются три попытки проявить свои способности.

• Вероятность успеха с первой попытки: [0{,}4]
• Со второй (если не получилось с первой): [0{,}5]
• С третьей (если не получилось с первых двух): [0{,}7]

Требуется:

1. Составить закон распределения числа попыток [X], необходимых для успеха.
2. Найти дисперсию выражения [D(5 - 2X)].

Шаг 1: Составим закон распределения случайной величины [X]

Обозначим [X] — номер попытки, с которой работник добился успеха.

• [P(X = 1)] = 0.4
• [P(X = 2)] = (неудача в 1-й) × (успех во 2-й) = [0.6 × 0.5 = 0.3]
• [P(X = 3)] = (неудача в 1-й и 2-й) × (успех в 3-й) = [0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.21]
• [P(X > 3)] = неудача во всех трех = [0.6 × 0.5 × 0.3 = 0.09] — но по условию максимум 3 попытки, значит, успеха не было — эту вероятность не учитываем, так как [X] — это число попыток до первого успеха.

Таким образом, закон распределения:

• [P(X = 1) = 0.4]
• [P(X = 2) = 0.3]
• [P(X = 3) = 0.21]

Проверим сумму:
[0.4 + 0.3 + 0.21 = 0.91]
Остальные 9% — это вероятность, что работник не справился вовсе, но в рамках задачи [X] — число попыток до успеха, значит, это событие исключаем.

Шаг 2: Найдём математическое ожидание [M(X)]

 M(X) = \sum_{i=1}^{3} x_i \cdot P(X = x_i) = 1 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.21 = 0.4 + 0.6 + 0.63 = 1.63 

Шаг 3: Найдём дисперсию [D(X)]

Сначала найдём [M(X^2)]:

 M(X^2) = \sum_{i=1}^{3} x_i^2 \cdot P(X = x_i) = 1^2 \cdot 0.4 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.21 = 0.4 + 1.2 + 1.89 = 3.49 

Теперь дисперсия:

 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3.49 - (1.63)^2 = 3.49 - 2.6569 = 0.8331 

Шаг 4: Найдём [D(5 - 2X)]

Используем формулу дисперсии линейной функции:

 D(aX + b) = a^2 \cdot D(X) 

Здесь:

• [a = -2], [b = 5]
• Значит:

 D(5 - 2X) = (-2)^2 \cdot D(X) = 4 \cdot 0.8331 = 3.3324 

Ответ:

• Закон распределения:

  • [P(X = 1) = 0.4]
  • [P(X = 2) = 0.3]
  • [P(X = 3) = 0.21]

• [D(5 - 2X) = 3.3324]