Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Дискретные случайные величины. Закон распределения, математическое ожидание и дисперсия.
Условие задачи:
Охотник стреляет 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в первом выстреле равна 0.8, после каждого выстрела вероятность попадания уменьшается на 0.1. Нужно:
- Составить закон распределения числа попаданий.
- Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.
Обозначим через \( X \) случайную величину — число попаданий в цель. Число выстрелов — 3, возможное количество попаданий в цель — \( X = 0, 1, 2, 3 \).
1. Составление закона распределения
Для каждого из 3-х выстрелов вероятность попадания последовательно изменяется:
- Первая попытка: \( p_1 = 0.8 \) (вероятность успеха), \( q_1 = 1 - p_1 = 0.2 \) (вероятность промаха);
- Вторая попытка: \( p_2 = 0.7 \), \( q_2 = 1 - p_2 = 0.3 \);
- Третья попытка: \( p_3 = 0.6 \), \( q_3 = 1 - p_3 = 0.4 \).
Число попаданий \( X \) — дискретная случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2 или 3. Вероятности каждого числа попаданий найдем по формуле полной вероятности для различных сочетаний исходов.
Возможные сценарии попаданий:
- \( X = 0 \) — ни одного попадания: \[ P(X = 0) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.4 = 0.024 \]
- \( X = 1 \) — одно попадание: Возможно 3 варианта — первое, второе или третье попадание (и остальные выстрелы — промахи). Соответственно: \[ P(X = 1) = \left(p_1 \cdot q_2 \cdot q_3\right) + \left(q_1 \cdot p_2 \cdot q_3\)\right) + \left(q_1 \cdot q_2 \cdot p_3\right) \]Подсчитаем: \[ P(X = 1) = (0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.4) + (0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.4) + (0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.6) = 0.096 + 0.056 + 0.036 = 0.188 \]
- \( X = 2 \) — два попадания: Возможно также 3 случая — попасть в два выстрела из трёх. Соответственно, рассчитаем: \[ P(X = 2) = (p_1 \cdot p_2 \cdot q_3) + (p_1 \cdot q_2 \cdot p_3) + (q_1 \cdot p_2 \cdot p_3) \] Подсчитаем: \[ P(X = 2) = (0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.4) + (0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.6) + (0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.6) = 0.224 + 0.144 + 0.084 = 0.452 \]
- \( X = 3 \) — три попадания: Все 3 выстрела — попадание: \[ P(X = 3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6 = 0.336 \]
Итак, закон распределения вида \( P(X = k) \) для \( k = 0, 1, 2, 3 \) следующий:
\[ \begin{array}{c|c}
X & P(X) \\
\hline
0 & 0.024 \\
1 & 0.188 \\
2 & 0.452 \\
3 & 0.336 \\
\end{array} \]
Проверим сумму вероятностей:
\[ 0.024 + 0.188 + 0.452 + 0.336 = 1.0 \]
Все верно, сумма равна 1.
2. Найдем математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) \)
Математическое ожидание для дискретной случайной величины \( X \) рассчитывается по формуле:
\[ \mathbb{E}(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X = k) \]
Подсчитаем:
\[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot 0.024 + 1 \cdot 0.188 + 2 \cdot 0.452 + 3 \cdot 0.336 = 0 + 0.188 + 0.904 + 1.008 = 2.1 \]
3. Найдем дисперсию \( D(X) \)
Дисперсия случайной величины \( X \) считается по формуле:
\[ D(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 \]
Сначала найдем \( \mathbb{E}(X^2) \):
\[ \mathbb{E}(X^2) = \sum_{k=0}^{3} k^2 \cdot P(X = k) \]
Подсчитаем:
\[ \mathbb{E}(X^2) = 0^2 \cdot 0.024 + 1^2 \cdot 0.188 + 2^2 \cdot 0.452 + 3^2 \cdot 0.336 = 0 + 0.188 + 1.808 + 3.024 = 5.02 \]
\[ D(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 = 5.02 - 2.1^2 = 5.02 - 4.41 = 0.61 \]
Ответ:
- Закон распределения числа попаданий:
\[ \begin{array}{c|c}
X & P(X) \\
\hline
0 & 0.024 \\
1 & 0.188 \\
2 & 0.452 \\
3 & 0.336 \\
\end{array} \]
- Математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) = 2.1 \).
- Дисперсия \( D(X) = 0.61 \).