Составить закон распределения числа попаданий. 2. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Дискретные случайные величины. Закон распределения, математическое ожидание и дисперсия.

Условие задачи:

Охотник стреляет 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в первом выстреле равна 0.8, после каждого выстрела вероятность попадания уменьшается на 0.1. Нужно:

1. Составить закон распределения числа попаданий.
2. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Обозначим через \( X \) случайную величину — число попаданий в цель. Число выстрелов — 3, возможное количество попаданий в цель — \( X = 0, 1, 2, 3 \).

1. Составление закона распределения

Для каждого из 3-х выстрелов вероятность попадания последовательно изменяется:

• Первая попытка: \( p_1 = 0.8 \) (вероятность успеха), \( q_1 = 1 - p_1 = 0.2 \) (вероятность промаха);
• Вторая попытка: \( p_2 = 0.7 \), \( q_2 = 1 - p_2 = 0.3 \);
• Третья попытка: \( p_3 = 0.6 \), \( q_3 = 1 - p_3 = 0.4 \).

Число попаданий \( X \) — дискретная случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2 или 3. Вероятности каждого числа попаданий найдем по формуле полной вероятности для различных сочетаний исходов.

Возможные сценарии попаданий:

1. \( X = 0 \) — ни одного попадания: \[ P(X = 0) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.4 = 0.024 \]
2. \( X = 1 \) — одно попадание: Возможно 3 варианта — первое, второе или третье попадание (и остальные выстрелы — промахи). Соответственно: \[ P(X = 1) = \left(p_1 \cdot q_2 \cdot q_3\right) + \left(q_1 \cdot p_2 \cdot q_3\)\right) + \left(q_1 \cdot q_2 \cdot p_3\right) \]Подсчитаем: \[ P(X = 1) = (0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.4) + (0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.4) + (0.2 \cdot 0.3 \cdot 0.6) = 0.096 + 0.056 + 0.036 = 0.188 \]
3. \( X = 2 \) — два попадания: Возможно также 3 случая — попасть в два выстрела из трёх. Соответственно, рассчитаем: \[ P(X = 2) = (p_1 \cdot p_2 \cdot q_3) + (p_1 \cdot q_2 \cdot p_3) + (q_1 \cdot p_2 \cdot p_3) \] Подсчитаем: \[ P(X = 2) = (0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.4) + (0.8 \cdot 0.3 \cdot 0.6) + (0.2 \cdot 0.7 \cdot 0.6) = 0.224 + 0.144 + 0.084 = 0.452 \]
4. \( X = 3 \) — три попадания: Все 3 выстрела — попадание: \[ P(X = 3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6 = 0.336 \]

Итак, закон распределения вида \( P(X = k) \) для \( k = 0, 1, 2, 3 \) следующий:

Проверим сумму вероятностей:

Все верно, сумма равна 1.

2. Найдем математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) \)

Математическое ожидание для дискретной случайной величины \( X \) рассчитывается по формуле:

Подсчитаем:

3. Найдем дисперсию \( D(X) \)

Дисперсия случайной величины \( X \) считается по формуле:

Сначала найдем \( \mathbb{E}(X^2) \):

Подсчитаем:

Ответ:

1. Закон распределения числа попаданий: \[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \\ \hline 0 & 0.024 \\ 1 & 0.188 \\ 2 & 0.452 \\ 3 & 0.336 \\ \end{array} \]
2. Математическое ожидание \( \mathbb{E}(X) = 2.1 \).
3. Дисперсия \( D(X) = 0.61 \).

Теперь вычислим дисперсию: