В партии деталей имеется 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди отобранных.
Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика
Задание: Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди отобранных.
Пояснение к решению задания:
В задаче требуется найти распределение случайной величины, которая описывает количество нестандартных деталей среди 4 отобранных из партии, где 10% деталей нестандартные.
- Определим случайную величину: Пусть \( X \) — это случайная величина, обозначающая количество нестандартных деталей среди 4 выбранных. \( X \) может принимать значения \( 0, 1, 2, 3 \) или \( 4 \).
- Тип распределения: Это задача на биномиальное распределение, так как есть две возможные исхода для каждой выбранной детали (она либо стандартная, либо нестандартная), и каждая деталь выбирается независимо от других. Биномиальное распределение характеризуется двумя параметрами:
- \( n \) — число испытаний (в нашем случае это 4 отборы).
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае это вероятность выбрать нестандартную деталь, т.е. \( p = 0.1 \)).
Вероятность \( k \) нестандартных деталей среди \( n \) выбранных рассчитывается по формуле:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
\]
- Вычислим вероятности для каждого значения \( X \):
- Для \( X = 0 \): \[
P(X = 0) = \binom{4}{0}(0.1)^0(0.9)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.6561 = 0.6561
\]
- Для \( X = 1 \): \[
P(X = 1) = \binom{4}{1}(0.1)^1(0.9)^3 = 4 \cdot 0.1 \cdot 0.729 = 0.2916
\]
- Для \( X = 2 \): \[
P(X = 2) = \binom{4}{2}(0.1)^2(0.9)^2 = 6 \cdot 0.01 \cdot 0.81 = 0.0486
\]
- Для \( X = 3 \): \[
P(X = 3) = \binom{4}{3}(0.1)^3(0.9)^1 = 4 \cdot 0.001 \cdot 0.9 = 0.0036
\]
- Для \( X = 4 \): \[
P(X = 4) = \binom{4}{4}(0.1)^4(0.9)^0 = 1 \cdot 0.0001 \cdot 1 = 0.0001
\]
- Составим закон распределения: Закон распределения случайной величины \( X \) выглядит следующим образом:
\[
\begin{array}{c|c}
X & P(X = x) \\\hline
0 & 0.6561 \\
1 & 0.2916 \\
2 & 0.0486 \\
3 & 0.0036 \\
4 & 0.0001 \\
\end{array}
\]
Заключение:
Закон распределения числа нестандартных деталей среди 4 отобранных из партии с 10% нестандартных деталей составляет:
\[ P(X = 0) = 0.6561, \]
\[ P(X = 1) = 0.2916, \]
\[ P(X = 2) = 0.0486, \]
\[ P(X = 3) = 0.0036, \]
\[ P(X = 4) = 0.0001. \]