Составить эмпирическую функцию распределения

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Ряды распределений и эмпирические функции". Эмпирическая функция распределения — это функция, которая определяет частоту, с которой значения наблюдаемой величины меньше либо равны конкретному значению. Рассмотрим, как составить эмпирическую функцию распределения для данного набора данных шаг за шагом.

Шаг 1: Упорядочение данных

Сначала упорядочим данные в порядке возрастания: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6

Шаг 2: Определение количества наблюдений

Обозначим общее количество наблюдений через \( n \). В данном случае \( n = 20 \).

Шаг 3: Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения для значения \( x_i \) будет равна доле наблюдений, которые меньше или равны \( x_i \). Для каждого уникального значения рассчитаем эту долю:

• Для \( x \leq 1 \): \[ F(1) = \frac{\text{Число наблюдений} \leq 1}{20} = \frac{2}{20} = 0.1 \]
• Для \( x \leq 2 \): \[ F(2) = \frac{\text{Число наблюдений} \leq 2}{20} = \frac{5}{20} = 0.25 \]
• Для \( x \leq 3 \): \[ F(3) = \frac{\text{Число наблюдений} \leq 3}{20} = \frac{10}{20} = 0.5 \]
• Для \( x \leq 4 \): \[ F(4) = \frac{\text{Число наблюдений} \leq 4}{20} = \frac{15}{20} = 0.75 \]
• Для \( x \leq 5 \): \[ F(5) = \frac{\text{Число наблюдений} \leq 5}{20} = \frac{18}{20} = 0.9 \]
• Для \( x \leq 6 \): \[ F(6) = \frac{\text{Число наблюдений} \leq 6}{20} = \frac{20}{20} = 1 \]

Таким образом, эмпирическая функция распределения принимает следующие значения:

Итоговая эмпирическая функция:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\ 0.1, & 1 \leq x < 2 \\ 0.25, & 2 \leq x < 3 \\ 0.5, & 3 \leq x < 4 \\ 0.75, & 4 \leq x < 5 \\ 0.9, & 5 \leq x < 6 \\ 1, & x \geq 6 \end{cases} \]

Эта функция дает полное представление о распределении ваших данных.