Случайные величины и случайные векторы, условные распределения, математическое ожидание, ковариация

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и случайные векторы, условные распределения, математическое ожидание, ковариация

Рассмотрим таблицу распределения случайного вектора ((X, Y)):

а) Найти безусловные законы распределения отдельных компонент (X) и (Y)

Безусловное распределение (X):

 P(X = 1) = 0.15 + 0.3 + 0.35 = 0.8 \ P(X = 2) = 0.05 + 0.05 + 0.1 = 0.2 

Безусловное распределение (Y):

 P(Y = -1) = 0.15 + 0.05 = 0.2 \ P(Y = 0) = 0.3 + 0.05 = 0.35 \ P(Y = 1) = 0.35 + 0.1 = 0.45 

б) Зависимы ли компоненты (X) и (Y)?

Проверим, равняется ли совместная вероятность произведению маргинальных вероятностей.

Пример:

 P(X=1, Y=-1) = 0.15 \ P(X=1) \cdot P(Y=-1) = 0.8 \cdot 0.2 = 0.16 \neq 0.15 

Следовательно, (X) и (Y) зависимы.

в) Вычислить вероятности:

1. (P(X = 2, Y = 0)):
Из таблицы: P(X=2, Y=0) = 0.05

2. (P(X > Y)):

Перебираем все комбинации, где (X > Y):

• (X=1, Y=-1): 0.15
• (X=2, Y=-1): 0.05
• (X=2, Y=0): 0.05
• (X=2, Y=1): 0.1

Суммируем:

 P(X > Y) = 0.15 + 0.05 + 0.05 + 0.1 = 0.35 

г) Найти математические ожидания (M[X]) и (M[Y])

Для (X):

 M[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0.8 + 2 \cdot 0.2 = 0.8 + 0.4 = 1.2 

Для (Y):

 M[Y] = (-1) \cdot 0.2 + 0 \cdot 0.35 + 1 \cdot 0.45 = -0.2 + 0 + 0.45 = 0.25 

д) Ковариационная матрица случайного вектора ((X, Y))

Найдем:

• (M[XY])
• Ковариация: Cov(X, Y) = M[XY] - M[X] \cdot M[Y]

Вычислим (M[XY]):

 M[XY] = \sum_{i,j} x_i y_j P(X = x_i, Y = y_j) = \ = 1\cdot(-1)\cdot0.15 + 1\cdot0\cdot0.3 + 1\cdot1\cdot0.35 + \ + 2\cdot(-1)\cdot0.05 + 2\cdot0\cdot0.05 + 2\cdot1\cdot0.1 = \ = -0.15 + 0 + 0.35 - 0.1 + 0 + 0.2 = 0.3 

Теперь:

 Cov(X, Y) = 0.3 - (1.2)(0.25) = 0.3 - 0.3 = 0 

Также найдём дисперсии:

 M[X^2] = 1^2 \cdot 0.8 + 2^2 \cdot 0.2 = 0.8 + 0.8 = 1.6 \ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 1.6 - 1.44 = 0.16 

 M[Y^2] = (-1)^2 \cdot 0.2 + 0^2 \cdot 0.35 + 1^2 \cdot 0.45 = 0.2 + 0 + 0.45 = 0.65 \ D[Y] = 0.65 - (0.25)^2 = 0.65 - 0.0625 = 0.5875 

Ковариационная матрица:

 \Sigma = \begin{pmatrix} D[X] & Cov(X,Y) \ Cov(X,Y) & D[Y] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.16 & 0 \ 0 & 0.5875 \end{pmatrix} 

е) Условный закон распределения (Y | X = 1) и (M[Y | X = 1])

Из таблицы для (X=1):

• (P(Y = -1 | X = 1) = \frac{0.15}{0.8} = 0.1875)
• (P(Y = 0 | X = 1) = \frac{0.3}{0.8} = 0.375)
• (P(Y = 1 | X = 1) = \frac{0.35}{0.8} = 0.4375)

Условное математическое ожидание:

 M[Y | X = 1] = (-1) \cdot 0.1875 + 0 \cdot 0.375 + 1 \cdot 0.4375 = -0.1875 + 0 + 0.4375 = 0.25 

ж) Условный закон распределения (X | Y > 0) и (M[X | Y > 0])

(Y > 0) означает (Y = 1). Тогда:

• (P(Y = 1) = 0.45)
• (P(X=1 | Y=1) = \frac{0.35}{0.45} = \frac{7}{9})
• (P(X=2 | Y=1) = \frac{0.1}{0.45} = \frac{2}{9})

Условное математическое ожидание:

 M[X | Y > 0] = 1 \cdot \frac{7}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{7}{9} + \frac{4}{9} = \frac{11}{9} \approx 1.222 

Если нужно, могу оформить всё в виде таблиц или графиков.