Случайная величина X равна числу попаданий в цель при одновременном залпе трёх стрелков

Предмет: Математика
Раздел: Теория вероятностей, случайные величины

Задача 1.5:
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.6, вторым — 0.7, третьим — 0.8. Случайная величина X равна числу попаданий в цель при одновременном залпе трёх стрелков.

Решение:

1. Определим случайную величину X — число попаданий в цель из трёх выстрелов.

2. Возможные значения X — это 0, 1, 2 или 3.

3. Вероятности попадания каждого стрелка:
   p_1 = 0.6, \quad p_2 = 0.7, \quad p_3 = 0.8
   Вероятности промаха:
   q_1 = 1 - 0.6 = 0.4, \quad q_2 = 1 - 0.7 = 0.3, \quad q_3 = 1 - 0.8 = 0.2

Построим ряд распределения вероятностей для X:

• P(X=0): все промахнулись
  P(X=0) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.4 \times 0.3 \times 0.2 = 0.024

• P(X=1): ровно один попал, остальные промахнулись
   P(X=1) = p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3 = \ = 0.6 \times 0.3 \times 0.2 + 0.4 \times 0.7 \times 0.2 + 0.4 \times 0.3 \times 0.8 = \ = 0.036 + 0.056 + 0.096 = 0.188 

• P(X=2): ровно два попали
   P(X=2) = p_1 p_2 q_3 + p_1 q_2 p_3 + q_1 p_2 p_3 = \ = 0.6 \times 0.7 \times 0.2 + 0.6 \times 0.3 \times 0.8 + 0.4 \times 0.7 \times 0.8 = \ = 0.084 + 0.144 + 0.224 = 0.452 

• P(X=3): все попали
  P(X=3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.6 \times 0.7 \times 0.8 = 0.336

Проверим сумму вероятностей:
0.024 + 0.188 + 0.452 + 0.336 = 1.0 — всё верно.

Математическое ожидание E(X):

 E(X) = \sum_{k=0}^3 k \cdot P(X=k) = 0 \times 0.024 + 1 \times 0.188 + 2 \times 0.452 + 3 \times 0.336 = \ = 0 + 0.188 + 0.904 + 1.008 = 2.1 

Дисперсия D(X):

Сначала найдём E(X^2):
 E(X^2) = \sum_{k=0}^3 k^2 \cdot P(X=k) = 0^2 \times 0.024 + 1^2 \times 0.188 + 2^2 \times 0.452 + 3^2 \times 0.336 = \ = 0 + 0.188 + 4 \times 0.452 + 9 \times 0.336 = 0.188 + 1.808 + 3.024 = 5.02 

Теперь дисперсия:
 D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5.02 - (2.1)^2 = 5.02 - 4.41 = 0.61 

Среднее квадратическое отклонение \sigma:

 \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.61} \approx 0.781 

Найти вероятность P(X \leq 3):

Так как максимальное значение X равно 3, то
P(X \leq 3) = 1.

Итог:

• Ряд распределения:
   \begin{cases} P(X=0) = 0.024 \ P(X=1) = 0.188 \ P(X=2) = 0.452 \ P(X=3) = 0.336 \end{cases} 

• Математическое ожидание: E(X) = 2.1

• Дисперсия: D(X) = 0.61

• Среднее квадратическое отклонение: \sigma \approx 0.781

• Вероятность P(X \leq 3) = 1.

Если нужно, могу помочь с решением других задач из списка.