Случайная величина имеет равномерное распределение

Предмет: Теория вероятностей.

Раздел: Непрерывные случайные величины и распределения.

Данное задание связано с темой определение вероятностей для непрерывных случайных величин с заданным распределением. Рассмотрим случайную величину \( X \), которая имеет равномерное распределение на отрезке [3, 12]. Это значит, что плотность вероятности \( f(x) \) для \( X \) определена на этом интервале и равна:

\[ f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{12 - 3} = \frac{1}{9}, \text{ для } x \in [3, 12]. \]

Задание заключается в определении вероятности того, что значение случайной величины \( X \) не попадет в отрезок [5, 8]. Для этого:

1. Сначала найдем вероятность того, что случайная величина \( X \) попадет в отрезок \( [5, 8] \):

\[ P(5 \leq X \leq 8) = \int_{5}^{8} f(x) \, dx. \]

Так как плотность равномерного распределения постоянна, это можно записать как:

\[ P(5 \leq X \leq 8) = f(x) \cdot (8 - 5) = \frac{1}{9} \cdot (8 - 5) = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]

2. Теперь найдем вероятность того, что случайная величина \( X \) не попадет в отрезок \( [5, 8] \). Это есть дополнение к вероятности попадания в этот отрезок, то есть:

\[ P(X \notin [5, 8]) = 1 - P(5 \leq X \leq 8). \]

Подставим найденное значение:

\[ P(X \notin [5, 8]) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \]

Таким образом, вероятность того, что значение случайной величины \( X \) не попадет в отрезок [5, 8], равна \( \frac{2}{3} \).