Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0.95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Повторение независимых испытаний (схема Бернулли), биномиальное распределение

Рассмотрим задачу 9.1:

Условие:
На контроль поступила партия деталей. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0.95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

Шаг 1: Анализ задачи

Пусть:

• вероятность того, что деталь нестандартная:
  [p = 0{,}05]
• вероятность того, что деталь стандартная:
  [q = 1 - p = 0{,}95]

Пусть мы испытаем [n] деталей. Тогда вероятность того, что все из них окажутся стандартными (т.е. ни одна не будет нестандартной), равна: [P(\text{все стандартные}) = q^n = 0{,}95^n]

Нас интересует вероятность того, что хотя бы одна окажется нестандартной: [P(\text{хотя бы одна нестандартная}) = 1 - 0{,}95^n]

По условию: [1 - 0{,}95^n \geq 0{,}95]

Шаг 2: Решение неравенства

Решим: [1 - 0{,}95^n \geq 0{,}95]

[0{,}95^n \leq 0{,}05]

Применим логарифм: [\log(0{,}95^n) \leq \log(0{,}05)]

[n \cdot \log(0{,}95) \leq \log(0{,}05)]

[n \geq \frac{\log(0{,}05)}{\log(0{,}95)}]

Вычислим численно: [\log(0{,}05) \approx -1{,}3010]
[\log(0{,}95) \approx -0{,}0223]

[n \geq \frac{-1{,}3010}{-0{,}0223} \approx 58{,}34]

Ответ:

[n \geq 59]

Нужно испытать не менее 59 деталей, чтобы с вероятностью не менее 0.95 обнаружить хотя бы одну нестандартную.