Сколько испытаний нужно провести, чтобы событие появилось не менее 75 раз с вероятностью 0,9?

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Формула Бернулли, закон больших чисел

Мы имеем серию независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0.8. Нам необходимо определить минимальное число испытаний n, чтобы вероятность появления события не менее 75 раз была не меньше 0.9.

Решение:

Обозначим:

• X — случайная величина, равная числу появлений события в n испытаниях.
• X подчиняется биномиальному распределению:
  X \sim Bin(n, p), где p = 0.8.
• Нам нужно найти минимальное n, при котором:
  P(X \geq 75) \geq 0.9.

Аппроксимация нормальным распределением:

Для больших n биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением:

X \approx N(\mu, \sigma^2),
где
\mu = np,
\sigma = \sqrt{np(1 - p)}.

Тогда вероятность P(X \geq 75) можно выразить через стандартное нормальное распределение:

P(X \geq 75) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \geq \frac{75 - \mu}{\sigma}\right).

Обозначим Z как стандартную нормальную случайную величину:

P\left(Z \geq \frac{75 - \mu}{\sigma}\right) \geq 0.9.

По таблице нормального распределения, квантиль P(Z \geq z) = 0.1 соответствует z \approx -1.28.

То есть:

\frac{75 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \approx -1.28.

Подставляем p = 0.8:

\frac{75 - 0.8n}{\sqrt{0.8n \cdot 0.2}} = -1.28.

Решаем уравнение:

75 - 0.8n = -1.28 \cdot \sqrt{0.16n}.

Возведем обе части в квадрат:

(75 - 0.8n)^2 = (1.28)^2 \cdot 0.16n.

5625 - 120n + 0.64n^2 = 0.2624n.

Переносим все в одну сторону:

0.64n^2 - 120.2624n + 5625 = 0.

Решаем квадратное уравнение по формуле:

n = \frac{120.2624 \pm \sqrt{(-120.2624)^2 - 4 \cdot 0.64 \cdot 5625}}{2 \cdot 0.64}.

Вычисляем дискриминант:

D = 14463.07 - 14400 = 63.07.

\sqrt{63.07} \approx 7.94.

n = \frac{120.2624 \pm 7.94}{1.28}.

Берем положительное значение:

n = \frac{120.2624 + 7.94}{1.28} \approx \frac{128.2}{1.28} \approx 100.2.

Так как число испытаний должно быть целым, берем n = 101.

Ответ: Минимальное число испытаний n = 101.