Решение задачи на независимость событий

Данное задание относится к предмету «Теория вероятностей» и его разделу «Независимость событий». Рассмотрим шаги для решения задания:

Шаг 1: Определение числовых параметров

• Всего студентов: \( n = 100 \)
• Знают английский язык: \( A = 50 \)
• Знают французский язык: \( B = 40 \)
• Знают немецкий язык: \( C = 35 \)
• Знают английский и французский язык: \( A \cap B = 20 \)
• Знают английский и немецкий язык: \( A \cap C = 8 \)
• Знают французский и немецкий язык: \( B \cap C = 10 \)
• Знают все три языка: \( A \cap B \cap C = 5 \)

Шаг 2: Определение количества студентов, знающих только один язык

Для этого используем принцип включения-исключения.

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставим значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 50 + 40 + 35 - 20 - 8 - 10 + 5 = 92 \]

Значит, 8 студентов не знают ни одного из эти языков. Теперь определим количество студентов, знающих только один язык:

• Только английский: \( A - (A \cap B + A \cap C - A \cap B \cap C) = 50 - (20 + 8 - 5) = 27 \)
• Только французский: \( B - (A \cap B + B \cap C - A \cap B \cap C) = 40 - (20 + 10 - 5) = 15 \)
• Только немецкий: \( C - (A \cap C + B \cap C - A \cap B \cap C) = 35 - (8 + 10 - 5) = 22 \)

Шаг 3: Вероятности событий

Обозначим события:

• \( E \) — вышедший студент знает английский язык.
• \( D \) — вышедший студент знает немецкий язык.
• \( F \) — вышедший студент знает французский язык.

Найдем вероятности этих событий:

• \[ P(E) = \frac{A}{100} = \frac{50}{100} = 0.5 \]
• \[ P(D) = \frac{C}{100} = \frac{35}{100} = 0.35 \]
• \[ P(F) = \frac{B}{100} = \frac{40}{100} = 0.4 \]

Шаг 4: Проверка независимости

Два события \( E \) и \( D \) независимы, если:

\[ P(E \cap D) = P(E) \cdot P(D) \]

Найдем \( P(E \cap D) \):

\[ P(E \cap D) = \frac{A \cap C}{100} = \frac{8}{100} = 0.08 \]

Проверка:

\[ P(E) \cdot P(D) = 0.5 \cdot 0.35 = 0.175 \]

\[ P(E \cap D) \neq P(E) \cdot P(D) \Rightarrow E \text{ и } D \text{ не являются независимыми} \]

Также проверяем:

\[ P(E \cap F) = \frac{A \cap B}{100} = \frac{20}{100} = 0.2 \neq 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \Rightarrow E \text{ и } F \text{ не независимые} \]

\[ P(F \cap D) = \frac{B \cap C}{100} = \frac{10}{100} = 0.1 \neq 0.4 \cdot 0.35 = 0.14 \Rightarrow F \text{ и } D \text{ не независимые} \]

Ответы:

1. Ни одна пара событий не является независимой.
2. События \( E \), \( F \) и \( D \) не являются независимыми в совокупности.