Проведения статистической обработки выборки данных

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)
Раздел: Статистическая обработка данных

Разбор задачи

Задача 8 требует проведения статистической обработки выборки данных, включая:

• построение интервального статистического ряда,
• построение графиков (гистограмма, полигон, эмпирическая функция плотности),
• вычисление точечных оценок статистических параметров,
• нахождение доверительных интервалов,
• проверку гипотезы о нормальном распределении по критерию Пирсона.

Задача 9 связана с корреляционным анализом и нахождением уравнений регрессии.

Для решения задачи 8 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построение интервального статистического ряда

   • Определить диапазон значений выборки.
   • Разделить его на 7 равных интервалов.
   • Подсчитать частоты попадания значений в интервалы.

2. Построение гистограммы, полигона и эмпирической функции плотности

   • Гистограмма строится по интервальному ряду.
   • Полигон частот строится по серединам интервалов.
   • Эмпирическая функция плотности строится по накопленным частотам.

3. Вычисление точечных оценок методом условных вариантов

   • Выборочное среднее:
     \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i
   • Выборочная дисперсия:
     S^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2
   • Исправленная выборочная дисперсия:
     S^2_{испр} = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2
   • Среднее квадратическое отклонение:
     S = \sqrt{S^2}

4. Нахождение доверительных интервалов

   • Для математического ожидания:
     \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
   • Для среднего квадратического отклонения:
     \left( \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}}, \sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}}} \right)

5. Проверка гипотезы о нормальном распределении (критерий Пирсона)

   • Разбить данные на интервалы.
   • Вычислить ожидаемые частоты по нормальному закону.
   • Рассчитать статистику критерия хи-квадрат:
     \chi^2 = \sum \frac{(n_i - m_i)^2}{m_i}
   • Сравнить с критическим значением.

Решение задачи 9

1. Вычисление выборочных средних для X и Y:
   \bar{X} = \frac{\sum x_i n_i}{n},
   \bar{Y} = \frac{\sum y_i n_i}{n}

2. Вычисление дисперсий и ковариации:
   S_X^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{X})^2 n_i,
   S_Y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{Y})^2 n_i,
   S_{XY} = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{X})(y_i - \bar{Y}) n_i

3. Нахождение коэффициентов регрессии:

   • Уравнение регрессии Y на X:
     Y = a + bX, где
     b = \frac{S_{XY}}{S_X^2},
     a = \bar{Y} - b\bar{X}
   • Уравнение регрессии X на Y:
     X = c + dY, где
     d = \frac{S_{XY}}{S_Y^2},
     c = \bar{X} - d\bar{Y}

4. Построение регрессионных линий на графике.

Итог

Для решения задачи требуется выполнить статистическую обработку данных, вычислить основные статистические характеристики, проверить гипотезу о нормальности распределения и построить уравнения регрессии.