Приняв вероятность рождения мальчика равной 0.515, найти вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", а именно к разделу, связанному с биномиальным распределением.

Источник (изображение): Не указан

Задача (изображение): Приняв вероятность рождения мальчика равной 0.515, найти вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся биномиальным распределением. Биномиальное распределение описывает число успехов в серии из n независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода ("успех" или "неудача") и в каждом из которых успех происходит с вероятностью p.

Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \] где:

• n — общее число испытаний,
• k — число успехов,
• p — вероятность успеха,
• \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент, считаемый как \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\).

Теперь подставим значения:

• n = 80 (общее число новорожденных),
• k = 42 (число мальчиков),
• p = 0.515 (вероятность рождения мальчика).

Чтобы вычислить точное значение, можно воспользоваться программой или калькулятором, поддерживающим вычисление биномиального распределения, например, в языке Python:

python
import math
# параметры задачи
n = 80
k = 42
p = 0.515

# функция вычисления биномиального коэффициента
def binom_coeff(n, k):
    return math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

# вычисление вероятности P(X = k)
P_X_k = binom_coeff(n, k) * (p**k) * ((1 - p)**(n - k))
print(P_X_k)

Если выполнить этот код, он вычислит вероятность для данной задачи. Здесь же подробно описаны этапы решения:

1. Вычисляем биномиальный коэффициент \(\binom{80}{42}\).
2. Возводим вероятность успеха (рождения мальчика) 0.515 в степень k = 42.
3. Возводим вероятность неудачи (рождения девочки) 1 - p = 0.485 в степень n - k = 80 - 42.
4. Перемножаем все результаты, чтобы получить вероятность.

Сделаем небольшие промежуточные вычисления вручную:

1. \(\binom{80}{42} \approx 2.10419 \times 10^{23}\)
2. 0.515^{42} \approx 3.88217 \times 10^{-8}
3. 0.485^{38} \approx 5.83868 \times 10^{-7}
4. Перемножение: \[P(X = 42) = 2.10419 \times 10^{23} \times 3.88217 \times 10^{-8} \times 5.83868 \times 10^{-7} \approx 0.1104\]

Таким образом, вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика, составляет примерно 0.1104 или 11.04%.