Поток запросов в справочную службу вокзала является простейшим с интенсивностью 150 запросов в час.

Это задание по теории вероятностей, раздел "Поток Пуассона".

Поток запросов на справочную службу является простейшим с интенсивностью \(\lambda = 150\) запросов в час. Но у нас есть задача на интервал в одну минуту, поэтому мы должны перевести интенсивность в запросы в минуту. 1 час = 60 минут, значит:

\[ \lambda_{\text{мин}} = \frac{150}{60} = 2.5 \text{ запросa в минуту} \]

Мы рассматриваем поток Пуассона, поэтому вероятность того, что за интервал времени придет \(k\) запросов, вычисляется по формуле:

\[ P(k, \lambda t) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \]

где \(t\) — интересующий нас интервал времени в минутах, \(\lambda\) — интенсивность потока, \(k\) — количество запросов.

а) Вероятность того, что поступит хотя бы один запрос

Это событие \(k \ge 1\). Более удобно сначала вычислить вероятность противоположного события (что **не** поступит запросов). Для \(k = 0\):

\[ P(0, \lambda t) = \frac{(2.5 * 1)^0 e^{-2.5}}{0!} = e^{-2.5} \]

Теперь вероятность того, что поступит хотя бы один запрос:

\[ P(k \ge 1) = 1 - P(0) = 1 - e^{-2.5} \]

Рассчитаем численное значение с помощью \(e^{-2.5}\):

\[ e^{-2.5} \approx 0.0821 \]

\[ P(k \ge 1) = 1 - 0.0821 = 0.9179 \]

Итак, вероятность того, что в течение одной минуты поступит хотя бы один запрос, примерно равна 0.9179.

б) Вероятность того, что поступит не более четырех запросов

Это событие \(k \le 4\). Мы должны найти сумму вероятностей:

\[ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) \]

Уже знаем \(P(0) = e^{-2.5} \approx 0.0821\). Теперь вычислим остальные:

Для \(k = 1\):

\[ P(1, 2.5) = \frac{(2.5)^1 e^{-2.5}}{1!} = 2.5 \cdot e^{-2.5} \approx 2.5 \cdot 0.0821 = 0.2053 \]

Для \(k = 2\):

\[ P(2, 2.5) = \frac{(2.5)^2 e^{-2.5}}{2!} = \frac{6.25 \cdot e^{-2.5}}{2} \approx \frac{6.25 \cdot 0.0821}{2} = 0.2565 \]

Для \(k = 3\):

\[ P(3, 2.5) = \frac{(2.5)^3 e^{-2.5}}{3!} = \frac{15.625 \cdot e^{-2.5}}{6} \approx \frac{15.625 \cdot 0.0821}{6} = 0.2137 \]

Для \(k = 4\):

\[ P(4, 2.5) = \frac{(2.5)^4 e^{-2.5}}{4!} = \frac{39.0625 \cdot e^{-2.5}}{24} \approx \frac{39.0625 \cdot 0.0821}{24} = 0.1286 \]

Теперь суммируем все вероятности:

\[ P(k \le 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) \approx 0.0821 + 0.2053 + 0.2565 + 0.2137 + 0.1286 = 0.8862 \]

Вероятность того, что в течение одной минуты поступит не более четырех запросов, примерно равна 0.8862.