Условие:
Поток пассажирских железнодорожных составов, прибывающих на станцию, можно считать простейшим с интенсивностью 6 составов в час. Найти вероятность того, что в течение 20 минут на станцию прибудет не менее трех составов.
Решение:
Данное задание относится к предмету математика, а именно к разделу теории вероятностей и конкретно к процессам Пуассона, которые описывают поток случайных событий.
Основные шаги решения задачи:
- Определение интенсивности потока:
- Интенсивность потока составляет 6 составов в час.
- Перечесление времени в едином масштабе:
- 20 минут = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа
- Вычисление средней интенсивности за 20 минут:
- Средняя интенсивность λ за 20 минут: \[ \lambda = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \, \text{состава} \]
- Использование распределения Пуассона:
- Распределение Пуассона для \( k \) событий за интервал времени с интенсивностью λ задается формулой: \[ P(K=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
- В нашем случае λ = 2.
- Вычисление вероятностей для k = 0, 1, 2 (не менее 3 = 3, 4, 5, ... и т.д.):
- \[ P(K < 3) = P(K=0) + P(K=1) + P(K=2) \]
- Где:
- \[ P(K=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} \]
- \[ P(K=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} \]
- \[ P(K=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2} \]
- \[ P(K < 3) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} \]
- Вычисление вероятности интересующего события (не менее 3-х составов):
- \[ P(K \ge 3) = 1 - P(K < 3) \]
- \[ P(K \ge 3) = 1 - 5e^{-2} \]
- Подсчет численного значения:
- \[ e^{-2} \approx 0.1353 \]
- Тогда: \[ P(K \ge 3) = 1 - 5 \cdot 0.1353 \approx 1 - 0.6765 \approx 0.3235 \]
- Таким образом, вероятность того, что в течение 20 минут на станцию прибудет не менее трех составов, составляет примерно 0.3235 или 32.35%.