Постройте графики функции

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Распределения случайных величин, плотность вероятности и функция распределения

Дана плотность распределения случайной величины f(x):

 f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ 2a \cdot \arccos x, & 0 \leq x \leq 1, \ 0, & x > 1. \end{cases} 

Шаг 1. Найдём параметр a

Для плотности вероятности должно выполняться условие нормировки:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1. 

Так как f(x) = 0 вне интервала [0,1], то:

 \int_0^1 2a \cdot \arccos x \, dx = 1. 

Вынесем константу:

 2a \int_0^1 \arccos x \, dx = 1. 

Вычислим интеграл \int_0^1 \arccos x \, dx.

Известный результат:

 \int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C. 

Подставим пределы:

 \int_0^1 \arccos x \, dx = \left[ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} \right]_0^1 = (1 \cdot \arccos 1 - \sqrt{1 - 1^2}) - (0 \cdot \arccos 0 - \sqrt{1 - 0^2}) = (0 - 0) - (0 - 1) = 1. 

Следовательно:

 2a \cdot 1 = 1 \implies a = \frac{1}{2}. 

Шаг 2. Найдём функцию распределения F(x)

Функция распределения:

 F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt. 

Для разных значений x:

• При x < 0:

 F(x) = 0. 

• При 0 \leq x \leq 1:

 F(x) = \int_0^x 2a \arccos t \, dt = \int_0^x \arccos t \, dt, 

так как a = \frac{1}{2}.

Используем формулу интеграла:

 \int_0^x \arccos t \, dt = \left[ t \arccos t - \sqrt{1 - t^2} \right]_0^x = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + 1. 

• При x > 1:

 F(x) = 1. 

Итого:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + 1, & 0 \leq x \leq 1, \ 1, & x > 1. \end{cases} 

Шаг 3. Найдём математическое ожидание E[X]

 E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x) \, dx = \int_0^1 x \cdot 2a \arccos x \, dx = \int_0^1 x \arccos x \, dx, 

подставляя a = \frac{1}{2}.

Вычислим интеграл \int_0^1 x \arccos x \, dx.

Пусть u = \arccos x, dv = x dx.

Тогда du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx, v = \frac{x^2}{2}.

По формуле интегрирования по частям:

 \int x \arccos x \, dx = \frac{x^2}{2} \arccos x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx. 

Вычислим интеграл:

 I = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx. 

Подставим x = \sin \theta, тогда dx = \cos \theta d\theta и пределы меняются: при x=0 \Rightarrow \theta=0, при x=1 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}.

Тогда:

 I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta. 

Известно, что:

 \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta = \frac{\pi}{4}. 

Подставим обратно:

 \int_0^1 x \arccos x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \arccos x \right]_0^1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}. 

(Так как при x=1 \arccos 1 = 0, а при x=0 x^2 = 0).

Итого:

 E[X] = \frac{\pi}{8} \approx 0.3927. 

Шаг 4. Построение графиков функций

• График плотности f(x) = \arccos x на [0,1], умноженный на 2a = 1, то есть просто f(x) = \arccos x.

• График функции распределения:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + 1, & 0 \leq x \leq 1, \ 1, & x > 1. \end{cases} 

Если нужно, могу построить графики с помощью Python или другого инструмента.

Если хотите, могу помочь с построением графиков в Python.