Построить ряд распределения для У и найти ее основные числовые характеристики

Предмет: Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)

Раздел: Дискретные случайные величины

Вам дано совместное распределение двух дискретных случайных величин X и Y. Необходимо построить распределение для Y и найти её основные числовые характеристики.

Шаг 1: Построение ряда распределения для Y

Ряд распределения для \( Y \) — это распределение вероятности для каждого возможного значения переменной \( Y \). Из таблицы мы видим вероятности. Для нахождения распределения \( Y \), нам необходимо вычислить вероятности \( P(Y = y) \), суммируя все соответствующие вероятности для каждого значения \( Y \).

• \( P(Y = 1) = P(Y = 1 \text{ при } X = 0) + P(Y = 1 \text{ при } X = 2) = \frac{12}{50} + \frac{2}{50} = \frac{14}{50} \)
• \( P(Y = 9) = P(Y = 9 \text{ при } X = 0) + P(Y = 9 \text{ при } X = 2) = \frac{10}{50} + \frac{25}{50} = \frac{35}{50} \)
• \( P(Y = 19) = P(Y = 19 \text{ при } X = 0) + P(Y = 19 \text{ при } X = 2) = \frac{1}{50} + 0 = \frac{1}{50} \)

Таким образом, ряд распределения для \( Y \):

\[ \begin{array}{c|c} Y & P(Y) \\ \hline 1 & \frac{14}{50} \\ 9 & \frac{35}{50} \\ 19 & \frac{1}{50} \\ \end{array} \]

Шаг 2: Ожидаемое значение \( Y \) (математическое ожидание)

Ожидаемое значение \( E(Y) \) можно найти по формуле:

\[ E(Y) = \sum_{y} y \cdot P(Y = y) \]

В нашем случае:

\[ E(Y) = 1 \cdot \frac{14}{50} + 9 \cdot \frac{35}{50} + 19 \cdot \frac{1}{50} = \frac{14}{50} + \frac{315}{50} + \frac{19}{50} = \frac{348}{50} = 6.96 \]

Шаг 3: Дисперсия \( Y \) (Var(Y))

Дисперсия \( Y \) может быть найдена по формуле:

\[ \mathrm{Var}(Y) = \sum_{y} (y - E(Y))^2 \cdot P(Y = y) \]

Сначала находим \( (y - 6.96)^2 \cdot P(Y = y) \):

• Для \( Y = 1 \): \[ (1 - 6.96)^2 \cdot \frac{14}{50} = (-5.96)^2 \cdot \frac{14}{50} = 35.5216 \cdot \frac{14}{50} = 9.936384 \]
• Для \( Y = 9 \): \[ (9 - 6.96)^2 \cdot \frac{35}{50} = (2.04)^2 \cdot \frac{35}{50} = 4.1616 \cdot 0.7 = 2.91312 \]
• Для \( Y = 19 \): \[ (19 - 6.96)^2 \cdot \frac{1}{50} = (12.04)^2 \cdot \frac{1/50} = 144.9616 \cdot \frac{1/50} = 2.899232 \]

Теперь суммируем все результаты:

\[ \mathrm{Var}(Y) = 9.936384 + 2.91312 + 2.899232 = 15.748736 \approx 15.75 \]

Шаг 4: Среднеквадратическое отклонение \( Y \) (σ(Y))

Среднеквадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(Y) = \sqrt{\mathrm{Var}(Y)} = \sqrt{15.75} \approx 3.97 \]

Основные числовые характеристики:

1. Мат. ожидание \( E(Y) \): 6.96
2. Дисперсия \( \mathrm{Var}(Y) \): 15.75
3. Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(Y) \): 3.97

Таким образом, распределение и основные числовые характеристики случайной величины \( Y \) найдены.