Построить ряд распределения для У и найти ее основные числовые характеристики

Предмет: Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)

Раздел: Дискретные случайные величины

Вам дано совместное распределение двух дискретных случайных величин X и Y. Необходимо построить распределение для Y и найти её основные числовые характеристики.

Шаг 1: Построение ряда распределения для Y

Ряд распределения для $\text{(}Y\text{)}$ — это распределение вероятности для каждого возможного значения переменной $\text{(}Y\text{)}$. Из таблицы мы видим вероятности. Для нахождения распределения $\text{(}Y\text{)}$, нам необходимо вычислить вероятности $\text{(}P(Y=y)\text{)}$, суммируя все соответствующие вероятности для каждого значения $\text{(}Y\text{)}$.

• $\text{(}P(Y=1)=P(Y=1\text{ при }X=0)+P(Y=1\text{ при }X=2)=\frac{12}{50}+\frac{2}{50}=\frac{14}{50}\text{)}$
• $\text{(}P(Y=9)=P(Y=9\text{ при }X=0)+P(Y=9\text{ при }X=2)=\frac{10}{50}+\frac{25}{50}=\frac{35}{50}\text{)}$
• $\text{(}P(Y=19)=P(Y=19\text{ при }X=0)+P(Y=19\text{ при }X=2)=\frac{1}{50}+0=\frac{1}{50}\text{)}$

Таким образом, ряд распределения для $\text{(}Y\text{)}$:

$\text{[}\begin{array}{cc}Y& P(Y)\\ 1& \frac{14}{50}\\ 9& \frac{35}{50}\\ 19& \frac{1}{50}\end{array}\text{]}$

Шаг 2: Ожидаемое значение $\text{(}Y\text{)}$ (математическое ожидание)

Ожидаемое значение $\text{(}E(Y)\text{)}$ можно найти по формуле:

$\text{[}E(Y)=\sum _{y}y\cdot P(Y=y)\text{]}$

В нашем случае:

$\text{[}E(Y)=1\cdot \frac{14}{50}+9\cdot \frac{35}{50}+19\cdot \frac{1}{50}=\frac{14}{50}+\frac{315}{50}+\frac{19}{50}=\frac{348}{50}=6.96\text{]}$

Шаг 3: Дисперсия $\text{(}Y\text{)}$ (Var(Y))

Дисперсия $\text{(}Y\text{)}$ может быть найдена по формуле:

$\text{[}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=\sum _y(y-E(Y){)}^2\cdot P(Y=y)\text{]}$

Сначала находим $\text{(}(y-6.96{)}^2\cdot P(Y=y)\text{)}$:

• Для $\text{(}Y=1\text{)}$: $\text{[}(1-6.96{)}^2\cdot \frac{14}{50}=(-5.96{)}^2\cdot \frac{14}{50}=35.5216\cdot \frac{14}{50}=9.936384\text{]}$
• Для $\text{(}Y=9\text{)}$: $\text{[}(9-6.96{)}^2\cdot \frac{35}{50}=(2.04{)}^2\cdot \frac{35}{50}=4.1616\cdot 0.7=2.91312\text{]}$
• Для $\text{(}Y=19\text{)}$: $\text{[}(19-6.96{)}^2\cdot \frac{1}{50}=(12.04{)}^2\cdot \frac{1/50}{=}144.9616\cdot \frac{1/50}{=}2.899232\text{]}$

Теперь суммируем все результаты:

$\text{[}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=9.936384+2.91312+2.899232=15.748736\approx 15.75\text{]}$

Шаг 4: Среднеквадратическое отклонение $\text{(}Y\text{)}$ (σ(Y))

Среднеквадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$\text{[}\sigma (Y)=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)}=\sqrt{15.75}\approx 3.97\text{]}$

Основные числовые характеристики:

1. Мат. ожидание $\text{(}E(Y)\text{)}$: 6.96
2. Дисперсия $\text{(}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)\text{)}$: 15.75
3. Среднеквадратическое отклонение $\text{(}\sigma (Y)\text{)}$: 3.97

Таким образом, распределение и основные числовые характеристики случайной величины $\text{(}Y\text{)}$ найдены.