Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Описательная статистика".

Решение задачи

1. Составление вариационного ряда

Вариационный ряд - это последовательность значений, распределенных в порядке возрастания.

Исходные данные: \(13, 11, 12, 11, 13, 16, 13, 11, 14, 11, 12, 14, 15, 12, 12, 13, 12, 11, 14, 13, 11, 12, 13, 12, 14\).

Распределим в порядке возрастания: \(11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16\).

2. Построение полигона частот

Для построения полигона частот вычислим частоты каждого значения:

• \(11\) - 5 раз
• \(12\) - 7 раз
• \(13\) - 6 раз
• \(14\) - 4 раза
• \(15\) - 1 раз
• \(16\) - 1 раз

3. Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения показывает накопленные частоты значений:

\[ F(x) = \frac{\text{Кол-во значений} \le x}{\text{Общее кол-во значений}} \]

• \( F(11) = \frac{5}{25} = 0.2 \)
• \( F(12) = \frac{12}{25} = 0.48 \)
• \( F(13) = \frac{18}{25} = 0.72 \)
• \( F(14) = \frac{22}{25} = 0.88 \)
• \( F(15) = \frac{23}{25} = 0.92 \)
• \( F(16) = \frac{24}{25} = 0.96 \)

4. Нахождение выборочной средней

Выборочная средняя (\(\bar{x}\)) рассчитывается как:

\[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \]

Где \(x_i\) - значения выборки, \(n\) - количество значений.

Подсчитаем сумму значений: \(11 \cdot 5 + 12 \cdot 7 + 13 \cdot 6 + 14 \cdot 4 + 15 \cdot 1 + 16 \cdot 1 = 55 + 84 + 78 + 56 + 15 + 16 = 304\).

Число значений \(n = 25\).

Тогда, выборочная средняя: \[ \bar{x} = \frac{304}{25} = 12.16 \]

5. Нахождение выборочной дисперсии

Выборочная дисперсия (\(S^2\)) вычисляется по формуле:

\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \]

Сначала найдем \( (x_i - \bar{x})^2 \) для каждого значения и их сумму:

\[ \begin{align*} (11 - 12.16)^2 \cdot 5 &= 7.84 \cdot 5 = 39.2 \\ (12 - 12.16)^2 \cdot 7 &= 0.0256 \cdot 7 = 0.1792 \\ (13 - 12.16)^2 \cdot 6 &= 0.67 \cdot 6 = 4.02 \\ (14 - 12.16)^2 \cdot 4 &= 3.3856 \cdot 4 = 13.5424 \\ (15 - 12.16)^2 \cdot 1 &= 8.0656 \\ (16 - 12.16)^2 \cdot 1 &= 14.9376 \\ \end{align*} \]

Суммируем: \[ 39.2 + 0.1792 + 4.02 + 13.5424 + 8.0656 + 14.9376 = 79.9448 \]

Тогда, выборочная dисперсия: \[ S^2 = \frac{79.9448}{24} \approx 3.33 \]

Итог

• Вариационный ряд: \(11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16\).
• Частоты: \(11 - 5\), \(12 - 7\), \(13 - 6\), \(14 - 4\), \(15 - 1\), \(16 - 1\).
• Эмпирическая функция распределения: \( F(11) = 0.2, F(12) = 0.48, F(13) = 0.72, F(14) = 0.88, F(15) = 0.92, F(16) = 0.96 \).
• Выборочная средняя: \( \bar{x} = 12.16 \).
• Выборочная дисперсия: \( S^2 \approx 3.33 \).