Построить гистограмму и кривую, сделать вывод о характере распределения

Данное задание относится к предмету математика, а именно к теории вероятностей и математической статистике. Нас просят выполнить следующие шаги:

1. Найти среднее арифметическое \( \bar{X} \).
2. Построить гистограмму и кривую распределения.
3. Для нормального распределения вычислить:
• Дисперсию \( D \),
• Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \),
• Среднюю ошибку среднего арифметического \( m \).
4. Сделать вывод о характере распределения.

Теперь по шагам:

1. Найдём среднее арифметическое \( \bar{X} \)

Среднее арифметическое для дискретной случайной величины \( X \) вычисляется по формуле:

\[ \bar{X} = \frac{\sum (X_i \cdot l_i)}{\sum l_i} \]

Здесь:

• \( X_i \) — возможные значения величины \( X \) (1.0, 2.0, 3.0 и т.д.),
• \( l_i \) — частота для каждого значения \( X_i \).

Посчитаем шаг за шагом. Для начала находим сумму произведений \( X_i \cdot l_i \):

\[ (1.0 \cdot 4) + (2.0 \cdot 5) + (3.0 \cdot 3) + (4.0 \cdot 7) + (5.0 \cdot 1) + (6.0 \cdot 6) + (7.0 \cdot 2) + (8.0 \cdot 4) + (9.0 \cdot 2) + (10.0 \cdot 4) + (11.0 \cdot 0) = 4 + 10 + 9 + 28 + 5 + 36 + 14 + 32 + 18 + 40 = 196 \]

Теперь найдём сумму частот:

\[ 4 + 5 + 3 + 7 + 1 + 6 + 2 + 4 + 2 + 4 + 0 = 38 \]

Среднее арифметическое будет равно:

\[ \bar{X} = \frac{196}{38} \approx 5.16 \]

2. Построим гистограмму и кривую распределения

Для построения гистограммы и кривой распределения нам понадобятся значения \( X_i \) и их частоты \( l_i \). Вот данные для графика:

• \( X_1 = 1.0 \), частота 4,
• \( X_2 = 2.0 \), частота 5,
• \( X_3 = 3.0 \), частота 3,
• \( X_4 = 4.0 \), частота 7,
• \( X_5 = 5.0 \), частота 1,
• \( X_6 = 6.0 \), частота 6,
• \( X_7 = 7.0 \), частота 2,
• \( X_8 = 8.0 \), частота 4,
• \( X_9 = 9.0 \), частота 2,
• \( X_{10} = 10.0 \), частота 4,
• \( X_{11} = 11.0 \), частота 0.

Для гистограммы строим столбчатую диаграмму с высотой столбцов, соответствующей частотам. Для построения кривой возможен сглаженный график на основе этих данных. Обычно строим кривую, исходя из центров столбцов гистограммы (по значениям \( X_i \)).

3. Найдём дисперсию \( D \), среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) и среднюю ошибку \( m \)

Дисперсия \( D \)

Дисперсия для дискретного распределения вычисляется по формуле:

\[ D = \frac{\sum (X_i^2 \cdot l_i)}{\sum l_i} - \bar{X}^2 \]

Для начала найдём сумму \( X_i^2 \cdot l_i \):

\[ (1.0^2 \cdot 4) + (2.0^2 \cdot 5) + (3.0^2 \cdot 3) + (4.0^2 \cdot 7) + (5.0^2 \cdot 1) + (6.0^2 \cdot 6) + (7.0^2 \cdot 2) + (8.0^2 \cdot 4) + (9.0^2 \cdot 2) + (10.0^2 \cdot 4) + (11.0^2 \cdot 0) \]

\[ = 4 + 20 + 27 + 112 + 25 + 216 + 98 + 256 + 162 + 400 = 1320 \]

Теперь можем найти дисперсию:

\[ D = \frac{1320}{38} - 5.16^2 \approx 34.74 - 26.62 \approx 8.12 \]

Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \)

Среднее квадратичное отклонение — это корень квадратный из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{8.12} \approx 2.85 \]

Средняя ошибка \( m \)

\[ m = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Где \( n = \sum l_i = 38 \). Подставляем значения:

\[ m = \frac{2.85}{\sqrt{38}} \approx \frac{2.85}{6.16} \approx 0.46 \]

4. Вывод о характере распределения

Окончательные результаты:

• Среднее арифметическое: \( \bar{X} \approx 5.16 \),
• Дисперсия: \( D \approx 8.12 \),
• Среднее квадратичное отклонение: \( \sigma \approx 2.85 \),
• Средняя ошибка: \( m \approx 0.46 \).

Исходя из гистограммы и расчетов, можно сказать, что данные имеют симметричное распределение с пиком в промежутке около 6-7, хотя распределение слегка отклонено влево относительно среднего.