Построить гистограмму и кривую, сделать вывод о характере распределения

Данное задание относится к предмету математика, а именно к теории вероятностей и математической статистике. Нас просят выполнить следующие шаги:

1. Найти среднее арифметическое $\text{(}\overline{X}\text{)}$.
2. Построить гистограмму и кривую распределения.
3. Для нормального распределения вычислить:
• Дисперсию $\text{(}D\text{)}$,
• Среднее квадратичное отклонение $\text{(}\sigma \text{)}$,
• Среднюю ошибку среднего арифметического $\text{(}m\text{)}$.
4. Сделать вывод о характере распределения.

Теперь по шагам:

1. Найдём среднее арифметическое $\text{(}\overline{X}\text{)}$

Среднее арифметическое для дискретной случайной величины $\text{(}X\text{)}$ вычисляется по формуле:

$\text{[}\overline{X}=\frac{\sum (X_i\cdot l_i)}{\sum l_i}\text{]}$

Здесь:

• $\text{(}{X}_i\text{)}$ — возможные значения величины $\text{(}X\text{)}$ (1.0, 2.0, 3.0 и т.д.),
• $\text{(}{l}_i\text{)}$ — частота для каждого значения $\text{(}{X}_i\text{)}$.

Посчитаем шаг за шагом. Для начала находим сумму произведений $\text{(}{X}_i\cdot l_i\text{)}$:

$\text{[}(1.0\cdot 4)+(2.0\cdot 5)+(3.0\cdot 3)+(4.0\cdot 7)+(5.0\cdot 1)+(6.0\cdot 6)+(7.0\cdot 2)+(8.0\cdot 4)+(9.0\cdot 2)+(10.0\cdot 4)+(11.0\cdot 0)=4+10+9+28+5+36+14+32+18+40=196\text{]}$

Теперь найдём сумму частот:

$\text{[}4+5+3+7+1+6+2+4+2+4+0=38\text{]}$

Среднее арифметическое будет равно:

$\text{[}\overline{X}=\frac{196}{38}\approx 5.16\text{]}$

2. Построим гистограмму и кривую распределения

Для построения гистограммы и кривой распределения нам понадобятся значения $\text{(}{X}_i\text{)}$ и их частоты $\text{(}{l}_i\text{)}$. Вот данные для графика:

• $\text{(}{X}_1=1.0\text{)}$, частота 4,
• $\text{(}{X}_2=2.0\text{)}$, частота 5,
• $\text{(}{X}_3=3.0\text{)}$, частота 3,
• $\text{(}{X}_4=4.0\text{)}$, частота 7,
• $\text{(}{X}_5=5.0\text{)}$, частота 1,
• $\text{(}{X}_6=6.0\text{)}$, частота 6,
• $\text{(}{X}_7=7.0\text{)}$, частота 2,
• $\text{(}{X}_8=8.0\text{)}$, частота 4,
• $\text{(}{X}_9=9.0\text{)}$, частота 2,
• $\text{(}{X}_{10}=10.0\text{)}$, частота 4,
• $\text{(}{X}_{11}=11.0\text{)}$, частота 0.

Для гистограммы строим столбчатую диаграмму с высотой столбцов, соответствующей частотам. Для построения кривой возможен сглаженный график на основе этих данных. Обычно строим кривую, исходя из центров столбцов гистограммы (по значениям $\text{(}{X}_i\text{)}$).

3. Найдём дисперсию $\text{(}D\text{)}$, среднее квадратичное отклонение $\text{(}\sigma \text{)}$ и среднюю ошибку $\text{(}m\text{)}$

Дисперсия $\text{(}D\text{)}$

Дисперсия для дискретного распределения вычисляется по формуле:

$\text{[}D=\frac{\sum (X_i^2\cdot l_i)}{\sum l_i}-{\overline{X}}^2\text{]}$

Для начала найдём сумму $\text{(}{X}_i^2\cdot l_i\text{)}$:

$\text{[}({1.0}^2\cdot 4)+({2.0}^2\cdot 5)+({3.0}^2\cdot 3)+({4.0}^2\cdot 7)+({5.0}^2\cdot 1)+({6.0}^2\cdot 6)+({7.0}^2\cdot 2)+({8.0}^2\cdot 4)+({9.0}^2\cdot 2)+({10.0}^2\cdot 4)+({11.0}^2\cdot 0)\text{]}$

$\text{[}=4+20+27+112+25+216+98+256+162+400=1320\text{]}$

Теперь можем найти дисперсию:

$\text{[}D=\frac{1320}{38}-{5.16}^2\approx 34.74-26.62\approx 8.12\text{]}$

Среднее квадратичное отклонение $\text{(}\sigma \text{)}$

Среднее квадратичное отклонение — это корень квадратный из дисперсии:

$\text{[}\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{8.12}\approx 2.85\text{]}$

Средняя ошибка $\text{(}m\text{)}$

$\text{[}m=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\text{]}$

Где $\text{(}n=\sum l_i=38\text{)}$. Подставляем значения:

$\text{[}m=\frac{2.85}{\sqrt{38}}\approx \frac{2.85}{6.16}\approx 0.46\text{]}$

4. Вывод о характере распределения

Окончательные результаты:

• Среднее арифметическое: $\text{(}\overline{X}\approx 5.16\text{)}$,
• Дисперсия: $\text{(}D\approx 8.12\text{)}$,
• Среднее квадратичное отклонение: $\text{(}\sigma \approx 2.85\text{)}$,
• Средняя ошибка: $\text{(}m\approx 0.46\text{)}$.

Исходя из гистограммы и расчетов, можно сказать, что данные имеют симметричное распределение с пиком в промежутке около $6-7$, хотя распределение слегка отклонено влево относительно среднего.