Построить 95%-ный доверительный интервал для истинного среднего

Предмет: Математика

Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика

Условие задачи:

Имеется выборка из 64 наблюдений. Выборочное среднее равно 100, стандартное отклонение равно 4. Требуется построить 95%-ный доверительный интервал для истинного среднего.

Решение:

Для построения доверительного интервала для истинного среднего, когда известно стандартное отклонение, используется следующая формула:

 \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, 

где:

• \bar{x} — выборочное среднее,
• \sigma — стандартное отклонение,
• n — объем выборки,
• z_{\alpha/2} — квантиль нормального распределения для уровня доверия 1 - \alpha.

Для уровня доверия 95% значение z_{\alpha/2} \approx 1.96.

Данные:

• \bar{x} = 100,
• \sigma = 4,
• n = 64,
• z_{\alpha/2} = 1.96.

Шаг 1. Найдем стандартную ошибку среднего:

 SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{64}} = \frac{4}{8} = 0.5. 

Шаг 2. Найдем границы доверительного интервала:

 \text{Левая граница} = \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot SE = 100 - 1.96 \cdot 0.5 = 100 - 0.98 = 99.02. 

 \text{Правая граница} = \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot SE = 100 + 1.96 \cdot 0.5 = 100 + 0.98 = 100.98. 

Ответ:

95%-ный доверительный интервал для истинного среднего:
[99.02; 100.98].