Построение многоугольника распределения и графика функции F(x)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Распределение вероятностей дискретных случайных величин

Дано:
Четыре раза бросается правильная монета.
Случайная величина X — модуль разности числа появлений герба и числа появлений решки.

Шаг 1. Определим возможные значения случайной величины X

Пусть H — количество гербов, T — количество решек.
Так как монета бросается 4 раза, то H + T = 4.
Случайная величина:
X = |H - T|.

Возможные значения H: 0, 1, 2, 3, 4
Соответственно:

• Если H=0, то T=4, X = |0-4|=4
• Если H=1, то T=3, X = |1-3|=2
• Если H=2, то T=2, X = |2-2|=0
• Если H=3, то T=1, X = |3-1|=2
• Если H=4, то T=0, X = |4-0|=4

Значит X принимает значения 0, 2, 4.

Шаг 2. Найдем вероятности для каждого значения X

Вероятность получить k гербов в 4 бросках монеты:
P(H=k) = C_4^k \cdot (0.5)^k \cdot (0.5)^{4-k} = C_4^k \cdot (0.5)^4

Где C_4^k — биномиальный коэффициент.

• Для X=0: это когда H=2, вероятность:
  P(X=0) = P(H=2) = C_4^2 \cdot (0.5)^4 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = 0.375

• Для X=2: это когда H=1 или H=3, вероятность:
  P(X=2) = P(H=1) + P(H=3) = C_4^1 \cdot \frac{1}{16} + C_4^3 \cdot \frac{1}{16} = (4 + 4) \cdot \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = 0.5

• Для X=4: это когда H=0 или H=4, вероятность:
  P(X=4) = P(H=0) + P(H=4) = C_4^0 \cdot \frac{1}{16} + C_4^4 \cdot \frac{1}{16} = (1 + 1) \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = 0.125

Шаг 3. Функция распределения вероятностей F(x)

Распределение вероятностей для X:
[ \begin{cases} P(X=0) = 0.375 \ P(X=2) = 0.5 \ P(X=4) = 0.125 \end{cases} ]

Функция распределения F(x) = P(X \leq x):

• Для x < 0: F(x) = 0
• Для 0 \leq x < 2: F(x) = 0.375
• Для 2 \leq x < 4: F(x) = 0.375 + 0.5 = 0.875
• Для x \geq 4: F(x) = 1

Шаг 4. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение

Математическое ожидание:
\mathbb{E}[X] = \sum x_i P(X=x_i) = 0 \cdot 0.375 + 2 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.125 = 0 + 1 + 0.5 = 1.5

Дисперсия:
D(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2,
где
\mathbb{E}[X^2] = 0^2 \cdot 0.375 + 2^2 \cdot 0.5 + 4^2 \cdot 0.125 = 0 + 4 \cdot 0.5 + 16 \cdot 0.125 = 0 + 2 + 2 = 4

Тогда
D(X) = 4 - (1.5)^2 = 4 - 2.25 = 1.75

Среднеквадратическое отклонение:
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.75} \approx 1.32

Шаг 5. Построение многоугольника распределения и графика функции F(x)

• Многоугольник распределения — это ломаная, соединяющая точки с координатами (x_i, P(X=x_i)):
  (0, 0.375), (2, 0.5), (4, 0.125)

• График функции распределения F(x) — ступенчатая функция, которая принимает значения:
  F(x) = 0 при x < 0,
  F(x) = 0.375 при 0 \leq x < 2,
  F(x) = 0.875 при 2 \leq x < 4,
  F(x) = 1 при x \geq 4.

Если нужно, могу построить графики в графическом виде. Напишите, если необходимо!