По данным таблицы найти условные средние

По данным таблицы найти условные средние при Y  3 и XY при X  6 :

Условие: По данным таблицы найти условные средние при
Y  3
и
XY
при
X  6
:

Условное среднее \( \overline{X_Y} \) при \( Y = 3 \) определяется как:

\[\overline{X_Y} = \sum_{i} X_i P(X=X_i | Y=3)\]

Чтобы найти условные вероятности \( P(X=X_i | Y=3) \), сначала найдем вероятность \( P(Y=3) \):

\[P(Y=3) = P(X=2 \cap Y=3) + P(X=3 \cap Y=3) + P(X=4 \cap Y=3)\]

Из таблицы это соответствует:

\[P(Y=3) = 0.3 + 0.15 + 0.1 = 0.55\]

Теперь найдем условные вероятности \( P(X=X_i | Y=3) \):

\[P(X=2 | Y=3) = \frac{P(X=2 \cap Y=3)}{P(Y=3)} = \frac{0.3}{0.55} \approx 0.5455\]

\[P(X=3 | Y=3) = \frac{P(X=3 \cap Y=3)}{P(Y=3)} = \frac{0.15}{0.55} \approx 0.2727\]

\[P(X=4 | Y=3) = \frac{P(X=4 \cap Y=3)}{P(Y=3)} = \frac{0.1}{0.55} \approx 0.1818\]

Теперь найдем \( \overline{X_Y} \):

\[\overline{X_Y} = 2 \cdot 0.5455 + 3 \cdot 0.2727 + 4 \cdot 0.1818 = 1.091 + 0.8181 + 0.7272 = 2.6363\]

Условное среднее \( \overline{Y_X} \) при \( X = 6 \) определяется как:

\[\overline{Y_X} = \sum_{j} Y_j P(Y=Y_j | X=6)\]

Чтобы найти условные вероятности \( P(Y=Y_j | X=6) \), сначала найдем вероятность \( P(X=6) \):

\[P(X=6) = P(X=6 \cap Y=3) + P(X=6 \cap Y=4) + P(X=6 \cap Y=5) + P(X=6 \cap Y=6)\]

Из таблицы это соответствует:

\[P(X=6) = 0.07 + 0.05 + 0.03 = 0.15\]

Теперь найдем условные вероятности \( P(Y=Y_j | X=6) \):

\[P(Y=3 | X=6) = \frac{P(Y=3 \cap X=6)}{P(X=6)} = \frac{0.07}{0.15} \approx 0.4667\]

\[P(Y=4 | X=6) = \frac{P(Y=4 \cap X=6)}{P(X=6)} = \frac{0.05}{0.15} \approx 0.3333\]

\[P(Y=5 | X=6) = \frac{P(Y=5 \cap X=6)}{P(X=6)} = \frac{0.03}{0.15} \approx 0.2\]

Теперь найдем \( \overline{Y_X} \):

\[\overline{Y_X} = 3 \cdot 0.4667 + 4 \cdot 0.3333 + 5 \cdot 0.2 = 1.4 + 1.3332 + 1 = 3.7332\]

Итак, условные средние:

\( \overline{X_Y} \approx 2.6363 \)

\( \overline{Y_X} \approx 3.7332 \)

Время — это деньги!